张量积辨析#

简述：在数学与物理文献中，“直积”（Direct Product）、“直和”（Direct Sum）与“张量积”（Tensor Product）常被混用。最可靠的区分方法是看它们对维度的处理：是“相加”还是“相乘”。

来源链接：

https://www.changhai.org/forum/collection_article_load.php?aid=1186358149

直积有时候称为“完全直积”，以区别于“离散直积”（就是直和）。

另外还有个叫做笛卡尔积的，这是对集合的操作。集合上是不是线性空间，有没有算符都无所谓。

问题核心#

“直积”一词在不同上下文中含义模糊：有文献把它当作张量积的同义词（常见于某些 QM 教材），也有文献把它表示为集合上的笛卡尔积或因而导致的直和（常见于流形与几何场合）。

两类基本操作#

维度相加（直和，Direct Sum）
- 符号： $V\oplus W$
- 作用：把互斥或不重叠的子空间拼接为一个更大的空间。
- 维度： $\dim(V\oplus W)=\dim V+\dim W$
- 物理/示例：
- Fock 空间： $\mathcal{F}=\mathcal{H}_0\oplus\mathcal{H}_1\oplus\mathcal{H}_2\oplus\cdots$
- 流形乘积处的切空间为直和（如 $AdS_5\times S^5$ 是 $5+5=10$ 维，而不是 $25$ 维）
维度相乘（张量积，Tensor Product）
- 符号： $V\otimes W$
- 作用：构造能同时描述两个系统并可发生纠缠的复合空间。
- 维度： $\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot\dim W$
- 物理/示例：
- 复合量子系统： $\mathcal{H}_{\text{total}}=\mathcal{H}_{\text{orb}}\otimes\mathcal{H}_{\text{spin}}$
- 度规张量的基底由切空间基底的张量积生成： $\partial_\mu\otimes\partial_\nu$ （ $4\times4=16$ 个基）

物理中的命名约定#

有些 QM 教材把“张量积”称作“直积”——这是命名约定，不改变数学结构。
在微分几何、广义相对论与 QFT 中，常严格使用“张量积”与“直和”的区分。

如何避免混淆（实用建议）#

不要只看作者用词，立即检查上下文或计算维度变化：
若结果是维度相加（或矩阵块对角），则为直和 $\oplus$ 。
若结果是维度相乘（或使用 Kronecker/张量积矩阵形式），则为张量积 $\otimes$ 。

总结：关注运算对维度的影响比记住术语更可靠：相加→直和，相乘→张量积。

张量积 ( $\otimes$ )：用于组合“共存”的、不同的系统 (AND)。

对态矢/空间: 组合两个同时存在的物理系统。
- 例子: 两个粒子的系统 $\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$ 。
- 例子: 一个粒子的轨道和自旋 $\mathcal{H} = \mathcal{H}_{orb} \otimes \mathcal{H}_{spin}$ 。总的态矢是 $\sum c_{ij} |\psi_i\rangle_1 \otimes |\phi_j\rangle_2$ 这样的线性组合（可能纠缠）。
对算符: 描述如何在一个复合系统上定义算符。
- 例子: 只作用于第一个粒子的算符 $A$ 写作 $A \otimes \mathbf{1}$ 。
- 例子: 描述两个粒子相互作用的哈密顿量，可能包含 $S_z^{(1)} \otimes S_z^{(2)}$ 这样的项。

直和 ( $\oplus$ )：用于组合“互斥”的、正交的子空间 (OR)。

对态矢/空间: 将一个大的希尔伯特空间分解为几个相互正交的子空间。
- 例子: Fock 空间 $\mathcal{F} = \mathcal{H}_0 \oplus \mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2 \oplus \dots$ 。一个态矢要么在0粒子空间 $\mathcal{H}_0$ ，要么在1粒子空间 $\mathcal{H}_1$ ，要么是它们的叠加。但一个1粒子态和一个2粒子态是天然正交的。
- 例子: 由于对称性（如宇称），希尔伯特空间分解为偶宇称空间和奇宇称空间 $\mathcal{H} = \mathcal{H}_{even} \oplus \mathcal{H}_{odd}$ 。
对算符: 当一个算符（如哈密顿量 $H$ ）保持这些子空间不变时（即 $H$ 不会把一个偶宇称态变成奇宇称态），这个算符就是块对角化的。
- 例子: 这样的 $H$ 可以写作 $H = H_{even} \oplus H_{odd}$ 。在矩阵形式上，它看起来像：$$ H = \begin{pmatrix}
  H_{even} & 0 \
  0 & H_{odd}
  \end{pmatrix}$$

类型	符号	意义	常见场景
直和 (direct sum)	$\mathcal{ H_1} \oplus \mathcal{H_2}$	描述“系统只能处于H1或H2之一”的情形（离散可分子空间）	自旋空间的不同分量、散射态与束缚态的并合空间
张量积 (tensor product)	$\mathcal {H_1} \otimes \mathcal{ H_2}$	描述“两个系统组成一个复合系统”	两粒子系统、角动量耦合、量子纠缠

在物理中的具体写法#

包括三个部分：
（A）形式化（纯线性代数）写法，
（B）指标记号写法，
（C）量子力学中的 braket 记法。
并且我会区分“直和”（direct sum）、“张量积”（tensor product）和“直乘”（direct product／有时也称直积，但在线性空间背景需澄清）三者。再分别用一个量子力学例子和一个广义相对论例子来说明。

假设我们所用的域为 $F$ （例如 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ）。

1. 向量空间、对偶空间、矢量与对偶矢量#

1.1 形式化写法#

设 $V$ 是一个 $F$ 上的向量空间。
定义其对偶空间（dual space）：

$V^*=\{\,f:V\to F\mid f\ \text{为线性映射}\,\}.$
若 $\{e_i\}_{i=1}^n$ 是 $V$ 的基底，则定义对偶基底 $\{e^i\}_{i=1}^n\subset V^*$ 满足

$e^i(e_j)=\delta^i_j.$
任取矢量 $v\in V$ ，可写为

$$
v=v^i e_i,\qquad v^i\in F.
$$
* 任取对偶矢量 $\alpha\in V^*$ ，可写为

$$
\alpha=\alpha_j e^j,\qquad \alpha_j\in F.
$$
* 它们的自然配对（evaluation）为

$\alpha(v)=\alpha_j v^i e^j(e_i)=\alpha_j v^i \delta^j_i=\alpha_i v^i.$

1.2 指标写法#

矢量分量写作 $v^i$ （上标，反变）。
对偶矢量分量写作 $\alpha_i$ （下标，协变）。
配对写作 $\alpha_i v^i$ （重复指标求和）。
基底变换时，矢量分量“反变”：

$v'^i={M^i}_j v^j,$

对偶矢量分量“协变”：

$\alpha'_i=\alpha_j {(M^{-1})^j}_i,$

其中 $M$ 为基变换矩阵。

1.3 braket 记法（量子力学版）#

在量子力学中我们通常使用希尔伯特空间 $\mathcal H$ ，态向量写作 $|\psi\rangle\in\mathcal H$ 。
对偶矢量对应的是 $\langle\phi|\in\mathcal H^*$ （狄拉克 bra）。
配对写作 $\langle\phi|\psi\rangle$ ，这是一个标量。
若 $|\psi\rangle=v^i|e_i\rangle$ ，则 $\langle\phi|=\overline{\alpha_i}\langle e^i|$ ，那么

$\langle\phi|\psi\rangle=\overline{\alpha_i}\,v^i.$

2. 直和（Direct Sum）、直乘（Direct Product）与张量积（Tensor Product）#

这里常见混淆在于“直乘”一词在不同文献里有不同用法。为避免混淆，先说明各自定义。

2.1 形式化写法#

2.1.1 直和#

设 $V_1$ 和 $V_2$ 是 $F$ -向量空间。定义

$V_1\oplus V_2=\{(v_1,v_2)\mid v_1\in V_1,\ v_2\in V_2\},$

其加法与数乘按分量定义：

$$
(v_1,v_2)+(v'_1,v'_2)=(v_1+v'_1, v_2+v'_2),\qquad
a\cdot(v_1,v_2)=(a v_1, a v_2).
$$
若为有限维， $\dim(V_1\oplus V_2)=\dim V_1+\dim V_2$ 。

2.1.2 直乘（笛卡尔积/物理语境说明）#

“直乘”在不同语境下含义不同。若指集合意义上的笛卡尔积 $V_1\times V_2$ ，并在其上赋予向量空间结构，它与 $V_1\oplus V_2$ 本质等价（作为向量空间）。但在物理文献中，有时说 “direct product” 实际上意指张量积。为避免歧义，本文中把“直乘”专指笛卡尔积/直和的集合并列结构（非张量耦合）。

2.1.3 张量积#

设 $V$ 和 $W$ 是 $F$ -向量空间。张量积 $V\otimes W$ 具有泛性质：存在双线性映射

$\otimes:V\times W\to V\otimes W,\qquad (v,w)\mapsto v\otimes w,$

使得对任意线性空间 $X$ 与任意双线性映射 $b:V\times W\to X$ ，存在唯一线性映射 $\tilde b:V\otimes W\to X$ 满足

$b(v,w)=\tilde b(v\otimes w).$

若 $\{v_i\}$ 是 $V$ 的基， $\{w_j\}$ 是 $W$ 的基，则 $\{v_i\otimes w_j\}_{i,j}$ 是 $V\otimes W$ 的基，故（有限维）

$\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot\dim W.$

一般元素可写为有限线性组合 $\sum_{i,j} c_{ij}\, (v_i\otimes w_j)$ 。

2.2 指标写法#

设 $\dim V=m,\ \dim W=n$ ，基分别为 $\{e_i\}_{i=1}^m,\ \{f_j\}_{j=1}^n$ 。

在 $V\oplus W$ 中，一个元素可以写为 $(v^i e_i,\ w^j f_j)$ .
在 $V\otimes W$ 中，一个纯张量写为
$$
(v^i e_i)\otimes(w^j f_j)=v^i w^j\,(e_i\otimes f_j),
$$
更一般的元素为 $\sum_{i,j}T^{ij}\,(e_i\otimes f_j)$ .
若引入对偶空间，则类型为 $(r,s)$ 的张量可写为
$$
T^{i_1\ldots i_r}{}{j_1\ldots j_s}\, (e\otimes\cdots\otimes e_{i_r}\otimes e^{j_1}\otimes\cdots\otimes e^{j_s}),

$$
其中上标为“矢量方向”（逆变指数），下标为“对偶矢量方向”（协变指数）。

2.3 braket 记法（量子力学）#

若系统 A、B 的希尔伯特空间为 $\mathcal H_A,\mathcal H_B$ ，合成系统的态空间为 $\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B$ （不是直和）。
直和通常表示“系统 A 或系统 B”的选择性合并；张量积表示两个系统“同时”存在并可纠缠。
若 $|\psi_A\rangle\in\mathcal H_A,\ |\phi_B\rangle\in\mathcal H_B$ ，合态可写为

$|\psi_A\rangle\otimes|\phi_B\rangle\equiv|\psi_A,\phi_B\rangle.$
合态的一般表示为 $\sum_{i,j}c_{ij}\,|e_i\rangle_A\otimes|f_j\rangle_B$ ，不总能写成单一纯张量（即存在纠缠态）。

2.4 直和 vs 张量积 vs “直乘”的关键区别#

直和 $V_1\oplus V_2$ ：并列合并，维度相加，元素形如 $(v_1,v_2)$ .
笛卡尔积/“直乘” $V_1\times V_2$ ：集合意义上的有序对；若赋予向量空间结构则等同于直和，但与张量积不同。
张量积 $V\otimes W$ ：表示两个空间同时参与的耦合结构，维度相乘，元素可为一般线性组合 $\sum_{i,j}T^{ij}(e_i\otimes f_j)$ ；许多元素不是纯张量 $v\otimes w$ ，因此可表征纠缠等耦合现象。
公式区别：

$\dim(V_1\oplus V_2)=\dim V_1+\dim V_2,\qquad \dim(V\otimes W)=\dim V\cdot\dim W.$

3. 举例：量子力学 & 广义相对论#

3.1 量子力学例子：两个自旋-½ 粒子系统#

单粒子状态空间 $\mathcal H_1\cong\mathbb{C}^2$ ，基为 $\{|+\rangle,|-\rangle\}$ .
两粒子系统状态空间为 $\mathcal H=\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2\cong\mathbb{C}^4$ 。若误用直和 $\mathcal H_1\oplus\mathcal H_2$ ，则表示“一个粒子在系统1 或系统2”，而非“两个粒子同时存在且可能纠缠”。
未纠缠态：

$$
|\Psi\rangle=|+\rangle_1\otimes|-\rangle_2\equiv|+,-\rangle.
$$
* 纠缠态示例（Bell 态）：

$$
|\Phi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt2}\big(|+\rangle_1\otimes|+\rangle_2+|-\rangle_1\otimes|-\rangle_2\big),
$$
不能分解为單一的 $|v\rangle_1\otimes|w\rangle_2$ 。
* 指标记法：若系统1基为 $e_i$ ，系统2基为 $f_j$ ，则

$|\Psi\rangle=v^i w^j\,(e_i\otimes f_j).$

3.2 广义相对论例子：应力-能量张量与矢量、对偶矢量#

在广义相对论中，切空间 $T_p(M)$ 是一个四维实向量空间。矢量写作 $v^a$ ，对偶矢量写作 $w_b$ 。
“直和”将两个切空间并列 $T_p(M)\oplus T_p(M)$ 在物理上不常用；常见的是张量结构。
应力-能量张量 $T^{ab}$ （类型 $(2,0)$ ）或 ${T^a}_b$ （类型 $(1,1)$ ）属于

$T^{ab}\in V\otimes V,\qquad {T^a}_b\in V\otimes V^*.$
指标表示（示例）：

$T^{ab}=\rho\,u^a u^b + p\,(g^{ab}+u^a u^b),$

其中 $u^a$ 为 4-速度， $\rho$ 为密度， $p$ 为压强， $g^{ab}$ 为度规张量。
* 自然配对（标量）为 $w_b v^b$ 。虽然 braket 在 GR 中不常用，但形式上可类比为 $\langle w|v\rangle=w_b v^b$ 。

4. 总结与提示#

矢量与对偶矢量是不同对象，务必区分上标／下标。
直和（或笛卡尔合并）与张量积本质不同：前者为“或／并列”合并，后者为“同时／耦合”合并，维度与元素形式均不同。
“直乘”一词需看语境：在物理文献中有时指张量积，建议明确使用 $\oplus$ 或 $\otimes$ 。
熟练在三种写法间转换：形式化（基与坐标）、指标（ $v^i,\ \alpha_j,\ T^{ij}{}_{k\ell}$ ）、braket（ $|\psi\rangle,\ \langle\phi|,\ |\psi,\phi\rangle$ ）。
例子表明：量子系统耦合用张量积；广义相对论中的张量多由张量积构成；直和用于状态选择型合并较多。

参考链接：
- https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product "Tensor product"
- https://cns.gatech.edu/~predrag/courses/PHYS-6124-12/StGoChap10.pdf "Vectors and Tensors (chapter)"
- https://quantum-abc.de/Tensor_products.pdf "Tensor products (intro)"

一、集合论层面：笛卡尔积的定义#

设 A, B 是两个集合，则它们的**笛卡尔积**定义为：

$A \times B = \{(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}.$

它的元素是**有序对 (a,b)**，表示“一个来自 A，一个来自 B”的组合。

性质：

是一个集合；
没有加法、乘法等代数运算；
若 A 有 m 个元素，B 有 n 个元素，则

$$ |A\times B| = mn; $$

常见于“定义函数域”或“关系”的场景，例如 $f: A\times B\to C$ 。

例子：

$\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\} = \mathbb{R}^2.$

这是一个平面上的点集（但此时还**只是集合**，尚未有向量结构）。

二、代数结构层面：直积（direct product）#

当 A、B 各自拥有**代数结构**（如群、环、线性空间）时，我们可以在它们的笛卡尔积上**定义代数运算**。
这样得到的结构叫作**直积**。

群的直积

设 $(G_1,\cdot)$ 和 $(G_2,\cdot)$ 是群，则它们的**直积群**定义为：

$G_1 \times G_2 = \{(g_1,g_2)\mid g_i\in G_i\},$

配上分量定义的群运算：

$(g_1,g_2)\cdot(h_1,h_2) = (g_1 h_1,\; g_2 h_2).$

性质：

单位元为 $(e_1,e_2)$ ；
逆元为 $(g_1^{-1}, g_2^{-1})$ 。

2️ 向量空间的直积（或直和）#

设 $V, W$ 是定义在同一域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。定义：

$V \times W = \{(v,w)\mid v\in V,\; w\in W\},$

并规定：

$(v_1,w_1) + (v_2,w_2) = (v_1+v_2,\; w_1+w_2),\qquad a(v,w) = (av,\; aw).$

于是 $V\times W$ 成为一个**新的向量空间**。有时也记作 $V\oplus W$ ，若维度有限时两者等价（即同构）。

张量积#

虽然 $V\times W$ 是一个线性空间，但它的线性结构是：
$$
c\,(v,w) = (cv, cw),
$$
这意味着两个分量受到**同一个标量**作用。

而双线性需要的是：一个标量作用在 $v$ ，另一个标量作用在 $w$ ，并且二者乘积 $ab$ 出现在结果中。

具体对比：

性质	直积的标量作用	双线性的标量作用
描述	$c(v,w)=(cv,\,cw)$	$B(av,bw)=ab\,B(v,w)$
要求	单一标量同时作用两分量	两个标量各自作用并相乘

因此：

在 $V \times W$ 的结构中，标量只出现**一次**，
而在双线性结构中，标量出现**两次（相乘）**。

这就是为什么“直积”不能表示双线性结构。

张量积如何修正这个问题#

张量积 $V\otimes W$ 是通过“强制”实现双线性关系而得的空间。我们定义等价关系：

$( a v_1 + b v_2, w ) \sim a(v_1,w) + b(v_2,w),$

$( v, a w_1 + b w_2 ) \sim a(v,w_1) + b(v,w_2).$

这一步把直积空间“线性化”到双线性世界。

于是：

$(v,w) \mapsto v\otimes w$

就是**把单一标量线性**扩展为**双标量线性**的过程。

张量积实现双线性结构的方法。

为什么要用张量积？

因为我们希望研究双线性映射 $B: V\times W\to X$ .

一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的

所以实现了一个新的线性空间 $v \otimes w$ ，使得这个空间 $v \otimes w$ 存在到X的线性映射。

比较数学化的语言：

张量积 $V\otimes W$ 是一个向量空间，配有一个双线性映射：

$\otimes: V\times W \to V\otimes W,\quad (v,w)\mapsto v\otimes w,$

满足以下 “泛性质” (universal property)：

对任意向量空间 $X$ 和任意双线性映射 $B: V\times W\to X$ ，
存在唯一的线性映射 $\tilde{B}: V\otimes W \to X$ ，使得

$B(v,w) = \tilde{B}(v\otimes w)\quad \forall v,w.$

这一性质使得我们可以把双线性映射「线性化」。

构造方法（从直积到商空间）

从直积空间出发

我们从自由向量空间 $F(V\times W)$ 开始，即以 $V\times W$ 为基的所有有限线性组合：

$\sum_i a_i (v_i, w_i).$
加上线性关系（生成等价关系）

为了让 $(v,w)\mapsto v\otimes w$ 成为**双线性映射**，我们必须在这个自由空间中“强制”以下等式成立：

$\begin{aligned} (v_1+v_2, w) &\sim (v_1,w) + (v_2,w),\\ (v, w_1+w_2) &\sim (v,w_1) + (v,w_2),\\ (a v, w) &\sim a(v,w),\\ (v, b w) &\sim b(v,w). \end{aligned}$
取商空间

定义：

$V\otimes W = F(V\times W) / R,$

其中 $R$ 是由上述所有关系生成的子空间。

在这个商空间中，我们记等价类为 $v\otimes w = [(v,w)]$ 。

最后更新: 2025-11-06
创建日期: 2025-11-06

直积 / 直和 / 张量积 辨析#