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线性空间、对偶空间与量子态#

目录#

  1. 线性空间的定义与例子
  2. 对偶空间与配对
  3. 线性算符与对偶映射
  4. 希尔伯特空间与态矢
  5. 直和与张量积的区分
  6. 散射态与束缚态的希尔伯特空间结构
  7. Møller 算符与 S 算符
  8. 三种语言对照：形式化、指标、Dirac 记号

1. 线性空间（Vector Space）#

定义#

设 \(F\) 为数域（通常为 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\)）。
线性空间（向量空间） \(V\) 是带有加法 \(+\) 与数乘 \(\cdot\) 的集合，满足：

  1. \(V\) 对加法封闭；
  2. 数乘对加法、数的乘法满足分配律；
  3. 存在零向量和加法逆元；
  4. 单位元 \(1\in F\) 满足 \(1\cdot v = v\)。

简言之：线性空间是可以“相加、缩放”的抽象空间。

例子#

  • \(\mathbb{R}^n\)：实数 \(n\) 维向量。
  • 函数空间 \(V=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\}\)。
  • 波函数空间 \(L^2(\mathbb{R}^3)\)（平方可积复函数）。

基底与坐标#

若有基 \(\{e_i\}_{i=1}^n\)，则任意 \(v\in V\) 可写作
\( v = v^i e_i. \)
分量 \(v^i\) 为“逆变分量”，上标常用于表示它是向量在该基下的系数（爱因斯坦求和约定）。

2. 对偶空间（Dual Space）#

定义#

对偶空间 \(V^*\) 是所有从 \(V\) 到 \(F\) 的线性泛函的集合：
\( V^* = \{\alpha: V\to F \mid \alpha(a v + b w)=a\alpha(v)+b\alpha(w)\}. \)

对偶基#

若 \(\{e_i\}\) 是 \(V\) 的基，则存在唯一对偶基 \(\{e^i\}\subset V^*\)，满足
\( e^i(e_j) = \delta^i_j. \)
于是
\( \alpha = \alpha_i e^i,\quad v=v^i e_i,\quad \alpha(v)=\alpha_i v^i. \)

记号约定：

  • 向量分量 \(v^i\)：上标（反变）。
  • 对偶分量 \(\alpha_i\)：下标（协变）。

3. 线性算符与对偶映射#

定义#

线性算符 \(A:V\to W\) 满足
\( A(av+bw)=aA(v)+bA(w). \)

对偶映射（伴随映射）#

定义 \(A^*:W^*\to V^*\)，对任意 \(\beta\in W^*\)、\(v\in V\)，
\( (A^*\beta)(v)=\beta(A v). \)

矩阵形式#

若 \(A(e_i)=f_a\,A^a{}_{i}\)（$ {f_a}$ 为 \(W\) 基），则
\( A^*(f^a) = e^i A^a{}_{i}. \)
即 \(A^*\) 的矩阵为 \(A\) 的转置（对复数域通常取共轭转置）。

4. 希尔伯特空间（Hilbert Space）与态矢（State Vector）#

定义#

希尔伯特空间 \(\mathcal H\) 是带有内积且完备的线性空间：
\( \langle\phi|\psi\rangle \in \mathbb C,\qquad \langle a\phi+b\chi|\psi\rangle = a^*\langle\phi|\psi\rangle + b^*\langle\chi|\psi\rangle. \)

Riesz 表示定理#

在希尔伯特空间中，每个连续线性泛函 \(\alpha\) 对应唯一向量 \(|u\rangle\)，使得：
\( \alpha(|\psi\rangle) = \langle u|\psi\rangle. \)
因此 \(\mathcal H \cong \mathcal H^*\)。

物理诠释#

在量子力学中：

  • ket \(|\psi\rangle\in\mathcal H\)：态矢；
  • bra \(\langle\psi|\in\mathcal H^*\)：其对偶；
  • 内积 \(\langle\phi|\psi\rangle\)：概率幅；
  • 算符 \(A:\mathcal H\to\mathcal H\)：物理可观测量的表示。

5. 直和与张量积#

操作 符号 数学定义 物理意义
直和 \(\mathcal H_1\oplus\mathcal H_2\) 元素为 \((v_1,v_2)\)，内积为两个分量内积之和 系统只能处于 \(\mathcal H_1\) 或 \(\mathcal H_2\)（如散射态 vs 束缚态）
张量积 \(\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2\) 双线性生成空间 两个系统组合成一个复合系统

例子：

  • 自旋 + 轨道角动量：\(\mathcal H = \mathcal H_L \otimes \mathcal H_S\)。
  • 散射 + 束缚态：\(\mathcal H = \mathcal H_{\mathrm{bound}} \oplus \mathcal H_{\mathrm{scatt}}\)。

6. 散射态与束缚态的希尔伯特空间结构#

哈密顿量与谱分解#

给定 \(H = H_0 + V\)，其中 \(H_0\) 是自由哈密顿量，\(V\) 是势或相互作用。谱分解为：
\( \mathcal H = \mathcal H_{\mathrm{bound}} \oplus \mathcal H_{\mathrm{scatt}}. \)

  • 束缚态（Bound state）：离散本征值 \(E_n\)，对应归一化本征态 \(|\psi_n\rangle\in\mathcal H_{\mathrm{bound}}\)，满足 \(\langle\psi_n|\psi_m\rangle=\delta_{nm}\)。
  • 散射态（Scattering state）：连续谱 \(E>0\)，形式归一化 \(\langle \psi_E | \psi_{E'}\rangle = \delta(E-E')\)。

渐进自由态（Asymptotic Free States）#

在 \(t\to\pm\infty\) 极限下，相互作用项 \(V\) 的影响消失，系统表现如自由粒子。自由态生成的空间为：
\( \mathcal H_{\mathrm{free}} = \operatorname{span}\{|\phi_p\rangle : H_0|\phi_p\rangle = E_p|\phi_p\rangle\}. \)

7. Møller 算符与 S 算符#

时间演化算符#

\( U(t,t_0)=e^{-\frac{i}{\hbar}H(t-t_0)}. \)

Møller 算符（Wave Operators）#

\( \Omega_\pm = \lim_{t\to\mp\infty} e^{iH_0 t} e^{-iHt}, \)

其中 \(\Omega_\pm:\mathcal H_{\mathrm{free}}\to\mathcal H_{\mathrm{int}}\)，将自由态映射为“渐进相互作用态”。

S 算符（Scattering Operator）#

\( S = \Omega_+^\dagger \Omega_-. \)

作用在自由空间上：
\( |\psi_{\mathrm{out}}\rangle = S |\psi_{\mathrm{in}}\rangle. \)

因此 \(\mathcal H_{\mathrm{int}} \cong \mathcal H_{\mathrm{free}}\)，同构映射由 \(\Omega_\pm\) 给出。

8. 三种语言对照表#

概念 形式化定义 指标形式 Dirac 记号
向量 \(v=v^i e_i\) \((v^i)\) \(\| v \rangle\)
对偶向量 \(\alpha=\alpha_i e^i\) \((\alpha_i)\) | $\langle\alpha $
配对 \(\alpha(v)=\alpha_i v^i\) \(\alpha_i v^i\) \(\langle\alpha\|v\rangle\)
算符 \(A(e_i)=A^j{}_{i} e_j\) \((A^j{}_{i})\) \(A\|\psi\rangle\)
伴随算符 \(\langle Av,w\rangle=\langle v,A^\dagger w\rangle\) \(A^{\dagger i}{}_{j}=(A^j{}_{i})^*\) \(\langle v\|A^\dagger\|w\rangle\)
张量积 \(v_1\otimes v_2\) \(v_1^i v_2^j\) \(\|v_1\rangle\otimes\|v_2\rangle\)
直和 \((v_1,v_2)\) \((v_1^i,v_2^j)\) \(\|v_1\rangle\oplus\|v_2\rangle\)
自由态 \(H_0\) 本征态 \(\phi_p\) \(\|\phi_p\rangle\)（例如波函数 \(\psi_p(x)=e^{ipx}\)）
相互作用态 \(H\) 本征态 \(\psi\) \(\|\psi\rangle\)（波包或束缚波）
渐进关系 \(\psi_{\mathrm{in/out}}=\Omega_{\mp}\phi\) — \(\psi(x,t\to\pm\infty)\sim e^{ipx}+\dots\)

小结#

  • 线性空间：抽象的“可叠加”的集合。
  • 对偶空间：作用在向量上的线性泛函。
  • 算符：向量空间上的线性映射。
  • 希尔伯特空间：具有内积与完备性的线性空间，是物理态空间。
  • 直和：表示系统状态空间的分块。
  • 张量积：表示复合系统。
  • 散射理论：\(\mathcal H_{\mathrm{int}}\) 与 \(\mathcal H_{\mathrm{free}}\) 通过 Møller 算符同构，S 算符描述输入输出映射。
Last update: 2026-02-25
Created: 2025-11-06