线性空间、对偶空间与量子态#
目录#
- 线性空间的定义与例子
- 对偶空间与配对
- 线性算符与对偶映射
- 希尔伯特空间与态矢
- 直和与张量积的区分
- 散射态与束缚态的希尔伯特空间结构
- Møller 算符与 S 算符
- 三种语言对照：形式化、指标、Dirac 记号
1. 线性空间（Vector Space）#
定义#
设 F 为数域（通常为 \mathbb{R} 或 \mathbb{C}）。
线性空间（向量空间） V 是带有加法 + 与数乘 \cdot 的集合，满足：
- V 对加法封闭；
- 数乘对加法、数的乘法满足分配律；
- 存在零向量和加法逆元；
- 单位元 1\in F 满足 1\cdot v = v。
简言之：线性空间是可以“相加、缩放”的抽象空间。
例子#
- \mathbb{R}^n：实数 n 维向量。
- 函数空间 V=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\}。
- 波函数空间 L^2(\mathbb{R}^3)（平方可积复函数）。
基底与坐标#
若有基 \{e_i\}_{i=1}^n，则任意 v\in V 可写作
$$
v = v^i e_i.
$$
分量 v^i 为“逆变分量”，上标常用于表示它是向量在该基下的系数（爱因斯坦求和约定）。
2. 对偶空间（Dual Space）#
定义#
对偶空间 V^* 是所有从 V 到 F 的线性泛函的集合：
$$
V^* = {\alpha: V\to F \mid \alpha(a v + b w)=a\alpha(v)+b\alpha(w)}.
$$
对偶基#
若 \{e_i\} 是 V 的基，则存在唯一对偶基 \{e^i\}\subset V^*，满足
$$
e^i(e_j) = \delta^i_j.
$$
于是
$$
\alpha = \alpha_i e^i,\quad v=v^i e_i,\quad
\alpha(v)=\alpha_i v^i.
$$
记号约定：
- 向量分量 v^i：上标（反变）。
- 对偶分量 \alpha_i：下标（协变）。
3. 线性算符与对偶映射#
定义#
线性算符 A:V\to W 满足
$$
A(av+bw)=aA(v)+bA(w).
$$
对偶映射（伴随映射）#
定义 A^*:W^*\to V^*，对任意 \beta\in W^*、v\in V，
$$
(A^*\beta)(v)=\beta(A v).
$$
矩阵形式#
若 A(e_i)=f_a\,A^a{}_{i}（$ {f_a}$ 为 W 基），则
$$
A*(fa) = e^i A^a{}_{i}.
$$
即 A^* 的矩阵为 A 的转置（对复数域通常取共轭转置）。
4. 希尔伯特空间（Hilbert Space）与态矢（State Vector）#
定义#
希尔伯特空间 \mathcal H 是带有内积且完备的线性空间：
$$
\langle\phi|\psi\rangle \in \mathbb C,\qquad
\langle a\phi+b\chi|\psi\rangle = a^\langle\phi|\psi\rangle + b^\langle\chi|\psi\rangle.
$$
Riesz 表示定理#
在希尔伯特空间中，每个连续线性泛函 \alpha 对应唯一向量 |u\rangle，使得：
$$
\alpha(|\psi\rangle) = \langle u|\psi\rangle.
$$
因此 \mathcal H \cong \mathcal H^*。
物理诠释#
在量子力学中：
- ket |\psi\rangle\in\mathcal H：态矢；
- bra \langle\psi|\in\mathcal H^*：其对偶；
- 内积 \langle\phi|\psi\rangle：概率幅；
- 算符 A:\mathcal H\to\mathcal H：物理可观测量的表示。
5. 直和与张量积#
| 操作 | 符号 | 数学定义 | 物理意义 |
|---|---|---|---|
| 直和 | \mathcal H_1\oplus\mathcal H_2 | 元素为 (v_1,v_2)，内积为两个分量内积之和 | 系统只能处于 \mathcal H_1 或 \mathcal H_2（如散射态 vs 束缚态） |
| 张量积 | \mathcal H_1\otimes\mathcal H_2 | 双线性生成空间 | 两个系统组合成一个复合系统 |
例子：
- 自旋 + 轨道角动量：\mathcal H = \mathcal H_L \otimes \mathcal H_S。
- 散射 + 束缚态：\mathcal H = \mathcal H_{\mathrm{bound}} \oplus \mathcal H_{\mathrm{scatt}}。
6. 散射态与束缚态的希尔伯特空间结构#
哈密顿量与谱分解#
给定 H = H_0 + V，其中 H_0 是自由哈密顿量，V 是势或相互作用。谱分解为：
$$
\mathcal H = \mathcal H_{\mathrm{bound}} \oplus \mathcal H_{\mathrm{scatt}}.
$$
- 束缚态（Bound state）：离散本征值 E_n，对应归一化本征态 |\psi_n\rangle\in\mathcal H_{\mathrm{bound}}，满足 \langle\psi_n|\psi_m\rangle=\delta_{nm}。
- 散射态（Scattering state）：连续谱 E>0，形式归一化 \langle \psi_E | \psi_{E'}\rangle = \delta(E-E')。
渐进自由态（Asymptotic Free States）#
在 t\to\pm\infty 极限下，相互作用项 V 的影响消失，系统表现如自由粒子。自由态生成的空间为：
$$
\mathcal H_{\mathrm{free}} = \operatorname{span}{|\phi_p\rangle : H_0|\phi_p\rangle = E_p|\phi_p\rangle}.
$$
7. Møller 算符与 S 算符#
时间演化算符#
Møller 算符（Wave Operators）#
其中 \Omega_\pm:\mathcal H_{\mathrm{free}}\to\mathcal H_{\mathrm{int}}，将自由态映射为“渐进相互作用态”。
S 算符（Scattering Operator）#
作用在自由空间上：
$$
|\psi_{\mathrm{out}}\rangle = S |\psi_{\mathrm{in}}\rangle.
$$
因此 \mathcal H_{\mathrm{int}} \cong \mathcal H_{\mathrm{free}}，同构映射由 \Omega_\pm 给出。
8. 三种语言对照表#
| 概念 | 形式化定义 | 指标形式 | Dirac 记号 |
|---|---|---|---|
| 向量 | v=v^i e_i | (v^i) | \| v \rangle |
| 对偶向量 | \alpha=\alpha_i e^i | (\alpha_i) | $\langle\alpha | $ |
| 配对 | \alpha(v)=\alpha_i v^i | \alpha_i v^i | \langle\alpha\|v\rangle |
| 算符 | A(e_i)=A^j{}_{i} e_j | (A^j{}_{i}) | A\|\psi\rangle |
| 伴随算符 | \langle Av,w\rangle=\langle v,A^\dagger w\rangle | A^{\dagger i}{}_{j}=(A^j{}_{i})^* | \langle v\|A^\dagger\|w\rangle |
| 张量积 | v_1\otimes v_2 | v_1^i v_2^j | \|v_1\rangle\otimes\|v_2\rangle |
| 直和 | (v_1,v_2) | (v_1^i,v_2^j) | \|v_1\rangle\oplus\|v_2\rangle |
| 自由态 | H_0 本征态 | \phi_p | \|\phi_p\rangle（例如波函数 \psi_p(x)=e^{ipx}） |
| 相互作用态 | H 本征态 | \psi | \|\psi\rangle（波包或束缚波） |
| 渐进关系 | \psi_{\mathrm{in/out}}=\Omega_{\mp}\phi | — | \psi(x,t\to\pm\infty)\sim e^{ipx}+\dots |
小结#
- 线性空间：抽象的“可叠加”的集合。
- 对偶空间：作用在向量上的线性泛函。
- 算符：向量空间上的线性映射。
- 希尔伯特空间：具有内积与完备性的线性空间，是物理态空间。
- 直和：表示系统状态空间的分块。
- 张量积：表示复合系统。
- 散射理论：\mathcal H_{\mathrm{int}} 与 \mathcal H_{\mathrm{free}} 通过 Møller 算符同构，S 算符描述输入输出映射。
创建日期: 2025-11-06