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散射理论#

1. 数学基础 — 希尔伯特空间 (Hilbert Space)#

在量子力学中，物理系统的态由希尔伯特空间 \(\mathcal{H}\) 中的态矢量描述。希尔伯特空间是带内积 \(\langle\cdot|\cdot\rangle\) 的完备矢量空间。

  • 内积 (Inner product)：概率幅 \(\langle\phi|\psi\rangle\)，概率为 \(|\langle\phi|\psi\rangle|^2\)。
  • 完备性 (Completeness)：所有柯西序列收敛于空间内点，保证极限运算良定。
  • 可分离 (Separable)：存在可数稠密子集或可数正交归一基。

常见例子：
- 有限维：\(\mathbb{C}^n\)，如自旋-½ 系统 \(\mathcal{H}=\mathbb{C}^2\)：
\(|\psi\rangle=\alpha|\uparrow\rangle+\beta|\downarrow\rangle=\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix},\quad |\alpha|^2+|\beta|^2=1.\)
内积 \(\langle\phi|\psi\rangle=\phi_1^*\psi_1+\phi_2^*\psi_2\)。
- 可数基（例如 \(\ell^2\)）：平方可和复数序列 \(a=(a_1,a_2,\dots)\) 满足 \(\sum|a_n|^2<\infty\)。例：一维谐振子，基态 \(|n\rangle\)。
- \(L^2(\mathbb{R}^3)\)：平方可积波函数 \(\psi(\mathbf{x})\)，内积
\(\langle\phi|\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^3}\phi^*(\mathbf{x})\psi(\mathbf{x})\,d^3x.\)
注意平面波 \(e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\) 为广义本征矢，需用配备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）处理。

2. 态的极限与 Møller 算符#

在散射理论中“入/出”态通过 \(t\to\mp\infty\) 的极限定义。

  • 强极限 (strong limit)：\(s\text{-}\lim_{n\to\infty}|\psi_n\rangle=|\psi\rangle\) 当且仅当
    \(\lim_{n\to\infty}\||\psi_n\rangle-|\psi\rangle\|=0.\)
  • 弱极限 (weak limit)：\(w\text{-}\lim_{n\to\infty}|\psi_n\rangle=|\psi\rangle\) 当且仅当对任意固定 \(|\phi\rangle\in\mathcal{H}\)，
    \(\lim_{n\to\infty}\langle\phi|\psi_n\rangle=\langle\phi|\psi\rangle.\)
    强收敛蕴含弱收敛，反之不然。

Møller 算符（要求为强极限）将自由演化态映射到相互作用态：
\(\Omega_\pm=\lim_{t\to\mp\infty} e^{iHt/\hbar}e^{-iH_0 t/\hbar}.\)
入态/出态定义为 \(|\psi^{(\pm)}\rangle=\Omega_\pm|\phi\rangle\)。

3. S、R、T 矩阵#

  • S 算符（散射算符）：将入态映射到出态
    \(|\psi_{out}\rangle=S|\psi_{in}\rangle,\qquad S=\Omega_-^\dagger\Omega_+.\)
    矩阵元 \(S_{fi}=\langle\phi_f|S|\phi_i\rangle\)。
  • R 算符（Reaction）：去掉未散射的单位部分
    \(S=\mathbf{1}+R.\)
  • T 算符（跃迁算符）：通过能量 \(\delta\) 把 \(R\) 的能量守恒部分分离出来
    \(R_{fi}=-2\pi i\,\delta(E_f-E_i)\,T_{fi},\)
    即
    \(S_{fi}=\delta_{fi}-2\pi i\,\delta(E_f-E_i)\,T_{fi}.\)
    在壳 (on-shell) 的 \(T_{fi}\) 可由相互作用势 \(V\) 與入态求得：
    \(T_{fi}=\langle\phi_f|V|\psi_i^{(+)}\rangle.\)

4. Resolvent（G 算符）与 Lippmann–Schwinger 方程#

  • 预解算符（Resolvent）：
    \(G(z)=(z-H)^{-1},\qquad G_0(z)=(z-H_0)^{-1},\quad z\in\mathbb{C}.\)
  • Dyson 恒等式：
    \(G=G_0+G_0 V G = G_0 + G V G_0.\)
  • Lippmann–Schwinger 方程（散射态）：
    \(|\psi^{(\pm)}\rangle=|\phi\rangle+G_0(E\pm i0) V |\psi^{(\pm)}\rangle,\)
    其中 \(H_0|\phi\rangle=E|\phi\rangle\)，\(i0\)（\(i\epsilon,\ \epsilon\to0^+\)）指定边值并保证正确渐进行为。
  • T 算符的表示与方程：
    \(T(z)=V+V G(z) V = V + V G_0(z) T(z).\)
    取 \(z=E_i+i0\) 得 \(T_{fi}=\langle\phi_f|T(E_i+i0)|\phi_i\rangle\)。

5. 分波 (Partial Waves) — 选取basis#

对中心势 \(V(\mathbf r)=V(r)\)，系统旋转不变，\([H,L^2]=[H,L_z]=0\)，可取共同本征态 \(|E,l,m\rangle\) 或 \(|k,l,m\rangle\)。

  • 平面波的分波展开：
    \(e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l 4\pi i^l j_l(kr) Y_{lm}^*(\hat{\mathbf k}) Y_{lm}(\hat{\mathbf r}).\)
    若 \(\hat{\mathbf k}=\hat{\mathbf z}\)：
    \(e^{ikz}=\sum_{l=0}^\infty(2l+1)i^l j_l(kr)P_l(\cos\theta).\)
  • 相移 (phase shift)：每一分波在远场产生相移 \(\delta_l(k)\)：
    • 自由径向波：\(R_l(r)\sim\sin(kr-l\pi/2)\)
    • 散射后：\(R_l(r)\sim\sin(kr-l\pi/2+\delta_l)\)
  • 散射振幅与分波展开：
    \(f(\theta)=\sum_{l=0}^\infty (2l+1) f_l(k) P_l(\cos\theta),\)
    其中
    \(f_l(k)=\frac{e^{i\delta_l}\sin\delta_l}{k}=\frac{1}{k\cot\delta_l-ik}.\)
    分波法将三维问题化为若干径向一维问题（求 \(\delta_l\)），低能下常只需少数几个分波。

6. 角动量叠加 & Hilbert 空间叠加#

当粒子具有内部自由度（如自旋）或我们考虑多个粒子的系统时，需要用到希尔伯特空间的叠加。

Hilbert 空间叠加 (Tensor Product):
如果一个系统由两个子系统 1 和 2 组成（例如，一个粒子的轨道运动 \(\mathcal{H}_{orb}\) 和它的自旋 \(\mathcal{H}_{spin}\)），那么复合系统的希尔伯特空间是两个子系统希尔伯特空间的张量积 (Tensor Product)：

\(\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2\)

如果 \(\{|i\rangle_1\}\) 是 \(\mathcal{H}_1\) 的基，\(\{|j\rangle_2\}\) 是 \(\mathcal{H}_2\) 的基，那么 \(\mathcal{H}\) 的一组基是 \(\{|i\rangle_1 \otimes |j\rangle_2\}\)，常简记为 \(|i, j\rangle\)。

例子: 一个自旋 \(s\) 的粒子在空间中运动。

\(\mathcal{H} = \mathcal{H}_{orbital} \otimes \mathcal{H}_{spin} \cong L^2(\mathbb{R}^3) \otimes \mathbb{C}^{2s+1}\)

一个态矢量可以写为 \(|\psi\rangle\)，其波函数为 \(\psi(\mathbf{x}, m_s) = \langle \mathbf{x}, m_s | \psi \rangle\)，是一个 \((2s+1)\) 分量的自旋波函数。

角动量叠加 (Angular Momentum Addition):
这是张量积空间中一个极其重要的应用。假设子系统 1 有角动量 \(\mathbf{J}_1\)，子系统 2 有角动量 \(\mathbf{J}_2\)。
总角动量算符定义在 \(\mathcal{H}\) 上：

\(\mathbf{J} = \mathbf{J}_1 \otimes \mathbf{1} + \mathbf{1} \otimes \mathbf{J}_2 \quad (\text{简记为 } \mathbf{J} = \mathbf{J}_1 + \mathbf{J}_2)\)

基的变换:
在 \(\mathcal{H}\) 空间中，我们有两组常用的基：

  • 非耦合基 (Uncoupled Basis): \(|j_1, m_1; j_2, m_2\rangle\)
    它们是 \(J_1^2, J_{1z}, J_2^2, J_{2z}\) 的共同本征矢。

  • 耦合基 (Coupled Basis): \(|j_1, j_2; J, M\rangle\)
    它们是 \(J_1^2, J_2^2, J^2, J_z\) 的共同本征矢。（注意 \(J^2 = (\mathbf{J}_1+\mathbf{J}_2)^2\)）

这两组基通过 Clebsch-Gordan (CG) 系数 \(\langle j_1 m_1, j_2 m_2 | J M \rangle\) 进行变换：

\(|j_1, j_2; J, M\rangle = \sum_{m_1, m_2} \langle j_1 m_1, j_2 m_2 | J M \rangle |j_1, m_1; j_2, m_2\rangle\)

在散射理论中的应用:
当相互作用 \(V\) 不仅仅是中心势 \(V(r)\)，而是包含自旋相关的项时（例如 自旋-轨道耦合 \(V_{SO} \propto \mathbf{L} \cdot \mathbf{S}\)）：

\(H\) 不再与 \(\mathbf{L}\) 和 \(\mathbf{S}\) 单独对易。

\(L^2\) 和 \(S_z\) 不再是守恒量。

但是，如果 \(V\) 仍然是旋转不变的（例如 \(\mathbf{L} \cdot \mathbf{S}\) 项），\(H\) 仍然与总角动量 \(\mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}\) 对易。

\([H, J^2] = 0, \quad [H, J_z] = 0\)

在这种情况下，分波展开的正确 basis 不再是 \(|l, m_l\rangle\)，而是耦合基 \(|l, s; J, M\rangle\)。

散射在 \(J\) 和 \(M\) 表象下是对角的（\(J\) 和 \(M\) 守恒），但S矩阵元 \(\langle l', s; J, M | S | l, s; J, M \rangle\) 可能在 \(l\) 上非对角（即 \(l\) 不守恒，例如在张量势作用下）。

Last update: 2026-02-25
Created: 2025-03-30