Friedrichs 模型#
关键词：friedrichs model, discrete-continuum coupling, scattering state, resonance pole, gamow state
注意笔记里最后只写u_{pol}, 还有u_{cut}的影响,因为算生存振幅智能在x轴上方积分.
原始路径只能在x轴上方积分,这是物理因果性决定的(薛定谔方程规定了时间的流向 导致i -i 含义不一致).
下压到第二张面后,只是为了好算,因为可以使用jordon lemma把路径闭合到下半平面,从而得到极点贡献. 但这并不意味着物理上真的存在第二张面,因为我们只能在x轴上方积分.
所以 u_{up} = u_{down} + discrete{ (\pm i)}, u_{down}等于下半面的极点贡献.
- 有效哈密顿量 / 自能 \Sigma(z)
- 散射态 |\Psi_E^{(\pm)}\rangle（以及 (S,T) 的共振分母）
- 共振极点 z_* = E_R - i\Gamma/2（Gamow 态）
0. 设定#
0.1 空间分解#
$$
\mathcal H = \mathbb C|d\rangle \oplus \mathcal H_c,
$$
|d\rangle 为离散态，\mathcal H_c 为连续谱子空间。
0.2 正交归一#
设
$$
\langle d|d\rangle=1,\qquad \langle d|E\rangle=0,
$$
连续态满足
$$
\langle E|E'\rangle=\delta(E-E'),\qquad
\int dE\,|E\rangle\langle E| = I_c \quad(\text{在 }\mathcal H_c\text{ 上}).
$$
1. 哈密顿量#
1.1 无耦合哈密顿量 H_0#
1.2 打开耦合：加入相互作用 V#
2. 本征方程与自能方程#
2.1 一般态展开#
2.2 计算 H|\psi\rangle#
(a) 先算 H_0|\psi\rangle#
(b) 再算 V|\psi\rangle#
-
V 作用在 \alpha|d\rangle 上：
$$
V(\alpha|d\rangle) = \alpha\int dE\, g^(E)\,|E\rangle\langle d|d\rangle
= \alpha\int dE\, g^(E)\,|E\rangle.
$$ -
V 作用在 \int \phi(E)|E\rangle\,dE 上：
$$
V\left(\int dE\,\phi(E)|E\rangle\right)
= \int dE\,\phi(E)\int dE'\, g(E')\,|d\rangle\langle E'|E\rangle,
$$
用 \langle E'|E\rangle=\delta(E'-E)，得
$$
= \int dE\,\phi(E)\, g(E)\,|d\rangle.
$$
© 合并#
2.3 对比 z|\psi\rangle#
比较 |d\rangle 与 |E\rangle 分量：
(1) 离散分量方程#
(2) 连续分量方程#
2.4 消去 \phi(E)#
把 (C) 代回 (A)：
$$
(E_d-z)\alpha+\int dE\, g(E)\left(\frac{-\alpha g^*(E)}{E-z}\right)=0.
$$
$$
\alpha\left[(E_d-z)-\int dE\,\frac{|g(E)|^2}{E-z}\right]=0.
$$
非平凡解（\alpha\neq 0）要求
$$
(E_d-z)-\int dE\,\frac{|g(E)|^2}{E-z}=0.
$$
等价于
$$
z-E_d-\int dE\,\frac{|g(E)|^2}{z-E}=0.
$$
3. Feshbach 投影与 \Sigma(z)#
3.1 定义投影#
- P\mathcal H 维数 = 1
- Q\mathcal H 是连续谱子空间
3.2 从 (H-z)|\psi\rangle=0 出发#
写成
$$
(H-z)(P+Q)|\psi\rangle=0.
$$
分别左乘 P 与 Q：
P 方程#
Q 方程#
由 (Q-eq) 解 Q|\psi\rangle：
$$
(QHQ-z)Q|\psi\rangle = -QHP\,P|\psi\rangle
$$
若 (QHQ-z)^{-1} 存在，
$$
Q|\psi\rangle = -(QHQ-z)^{-1}QHP\,P|\psi\rangle.
\tag{Qsol}
$$
代回 (P-eq)：
$$
(PHP-z)P|\psi\rangle - PHQ(QHQ-z)^{-1}QHP\,P|\psi\rangle=0.
$$
即
$$
\Big[PHP + PHQ(z-QHQ)^{-1}QHP\Big]P|\psi\rangle = z P|\psi\rangle.
$$
得到 Feshbach 有效哈密顿量
$$
H_{\rm eff}(z)=PHP+PHQ(z-QHQ)^{-1}QHP.
$$
3.3 在 Friedrichs 模型中#
- PHP = E_d |d\rangle\langle d| 在 1 维空间上就是数 E_d；
- QHQ 在 |E\rangle 表象下就是乘法算符 E；
- PHQ=\int dE\, g(E)|d\rangle\langle E|；
- QHP=\int dE\, g^*(E)|E\rangle\langle d|。
4. 散射态与边界值#
4.1 Lippmann–Schwinger 方程#
自由连续态 |E\rangle 为 H_0 本征态，散射态定义为
$$
|\Psi_E^{(\pm)}\rangle
= |E\rangle
+ \frac{1}{E-H_0\pm i0}V|\Psi_E^{(\pm)}\rangle.
\tag{LS}
$$
4.2 将 |\Psi_E^{(\pm)}\rangle 展开#
设
$$
|\Psi_E^{(\pm)}\rangle
= |E\rangle + a^{(\pm)}(E)|d\rangle + \int dE'\, b^{(\pm)}(E';E)|E'\rangle.
$$
只需离散分量
$$
a^{(\pm)}(E)=\langle d|\Psi_E^{(\pm)}\rangle.
$$
对 (LS) 左乘 \langle d|：
$$
\langle d|\Psi_E^{(\pm)}\rangle
= \langle d|E\rangle
+
\left\langle d\left|\frac{1}{E-H_0\pm i0}V\right|\Psi_E^{(\pm)}\right\rangle.
$$
\langle d|E\rangle=0。
对 (LS) 左乘 \langle E'|：
$$
\langle E'|\Psi_E^{(\pm)}\rangle
= \delta(E'-E)
+
\frac{1}{E-E'\pm i0}\,\langle E'|V|\Psi_E^{(\pm)}\rangle.
\tag{3}
$$
$$
\langle E'|V = g^*(E')\langle d|.
$$
$$
\langle E'|V|\Psi_E^{(\pm)}\rangle
= g*(E')\,a(E).
\tag{4}
$$
代回 (3)：
$$
\langle E'|\Psi_E^{(\pm)}\rangle
= \delta(E'-E)
+
\frac{g^*(E')}{E-E'\pm i0}\,a^{(\pm)}(E).
\tag{5}
$$
再代回 (2)：
$$
\begin{aligned}
\langle d|V|\Psi_E^{(\pm)}\rangle
&= \int dE'\, g(E')\delta(E'-E)
+ \int dE'\, g(E')\frac{g^*(E')}{E-E'\pm i0}\,a^{(\pm)}(E) \
&= g(E)
+ \left[\int dE'\,\frac{|g(E')|^2}{E-E'\pm i0}\right] a^{(\pm)}(E).
\tag{6}
\end{aligned}
$$
将 (6) 代回 (1)：
$$
a^{(\pm)}(E)
= \frac{1}{E-E_d\pm i0}
\left(
g(E)
+
\left[\int dE'\,\frac{|g(E')|^2}{E-E'\pm i0}\right] a^{(\pm)}(E)
\right).
$$
整理得
$$
\left[
E-E_d\pm i0
- \int dE'\,\frac{|g(E')|^2}{E-E'\pm i0}
\right] a^{(\pm)}(E)
= g(E).
$$
定义边界自能
$$
\Sigma(E\pm i0)=\int dE'\,\frac{|g(E')|^2}{E\pm i0-E'}.
$$
$$
\frac{1}{E-E'\pm i0}=\frac{1}{E\pm i0-E'}.
$$
$$
a^{(\pm)}(E)=\frac{g(E)}{E-E_d-\Sigma(E\pm i0)}.
\tag{aE}
$$
4.3 \Delta(E) 与 \Gamma(E)#
用分布恒等式（Sokhotski–Plemelj）：
$$
\frac{1}{x\pm i0}=\mathcal P\frac{1}{x}\mp i\pi\delta(x).
$$
对
$$
\Sigma(E\pm i0)=\int dE'\,\frac{|g(E')|^2}{E-E'\pm i0}
$$
令 x=E-E'，
$$
\Sigma(E\pm i0)
= \mathcal P\int dE'\,\frac{|g(E')|^2}{E-E'}
\mp i\pi |g(E)|^2.
$$
定义
$$
\Delta(E)=\mathcal P\int dE'\,\frac{|g(E')|^2}{E-E'},\qquad
\Gamma(E)=2\pi |g(E)|^2.
$$
则
$$
\Sigma(E\pm i0)=\Delta(E)\mp i\Gamma(E)/2.
$$
于是分母为
$$
E-E_d-\Delta(E)\pm i\Gamma(E)/2.
$$
5. 极点、Gamow 态与 RHS#
5.1 离散通道 resolvent 与极点方程#
实轴边界值
$$
G_d(E\pm i0)=\frac{1}{E-E_d-\Sigma(E\pm i0)},
$$
且
$$
\Sigma(E\pm i0)=\Delta(E)\mp i\Gamma(E)/2.
$$
5.2 第二 Riemann 面与共振极点#
$$
\Sigma(z)=\int_{E_{\rm th}}^\infty dE'\,\frac{|g(E')|^2}{z-E'}
$$
在 [E_{\rm th},\infty) 有支割，G_d(z) 对应两张 Riemann 面。
在割线上（E>E_{\rm th}）：
$$
\Sigma^{\rm I}(E+i0)-\Sigma^{\rm I}(E-i0)=-\,i\Gamma(E).
$$
在割线上可写为
$$
\Sigma^{\rm II}(E-i0)=\Sigma^{\rm I}(E+i0).
$$
共振极点为第二张面下半平面解
$$
z_=E_R-\frac{i}{2}\Gamma_R,\qquad
z_-E_d-\Sigma^{\rm II}(z_*)=0.
$$
5.3 谱函数与 Breit-Wigner 近似#
谱函数
$$
A(E)\equiv -2\,\mathrm{Im}\,G_d(E+i0).
$$
代入
$$
G_d(E+i0)=\frac{1}{(E-E_d-\Delta(E))+i\Gamma(E)/2},
$$
得
$$
A(E)=\frac{\Gamma(E)}
{(E-E_d-\Delta(E))2+(\Gamma(E)/2)2}.
$$
窄宽度近似下即 Breit-Wigner 峰形。
5.4 Gamow 态、指数衰减与支割修正#
生存振幅
$$
u(t)\equiv \langle d|e^{-iHt}|d\rangle
=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma dz\,e^{-izt}G_d(z),\qquad t>0.
$$
闭合路径到下半平面：
$$
u(t)=u_{\rm pole}(t)+u_{\rm cut}(t).
$$
极点贡献（z=z_* 留数）：
$$
u_{\rm pole}(t)=Z\,e^{-iz_* t}
=Z\,e^{-iE_R t}e^{-\Gamma_R t/2},
$$
其中
$$
Z=\left[1-\Sigma^{{\rm II}\,\prime}(z_*)\right]^{-1}.
$$
中间时间区间
$$
P(t)=|u(t)|^2\approx |Z|2e.
$$
严格地
$$
u_{\rm cut}(t)\neq0,
$$
其控制短时偏离指数律与长时幂律尾（由阈值解析结构决定）。
因此常在 Rigged Hilbert Space（RHS/Gelfand 三重）中处理：Gamow 矢量是广义本征矢量，不属于普通 Hilbert 空间的平方可积态。
6. 总结#
- 模型：一个离散态 |d\rangle 与连续谱 |E\rangle 通过 g(E) 耦合。
- 核心函数：\Sigma(z)=\int dE\,|g(E)|^2/(z-E)。
- 极点方程：z-E_d-\Sigma(z)=0。
- 散射边界值：\Sigma(E\pm i0)=\Delta(E)\mp i\Gamma(E)/2，\Gamma(E)=2\pi|g(E)|^2。
- 共振：第二张面极点 z_*=E_R-i\Gamma_R/2。
- 动力学：u(t)=Z e^{-iz_*t}+u_{\rm cut}(t)，指数衰减只是主导项而非全时精确律。
Created: 2025-03-30