空间#

人们对于空间的直观认识，往往来源于我们对二维平面和三维立体的感知。或者说是来源于欧式空间 $R^n$ 的概念. 这些空间里有着拓扑结构，可以定义距离、邻域等基本概念。可以定义向量运算，可以进行线性代数的研究。我们可以将这些概念或者性质进行抽象化，从而得到更一般的概念(适用性更广即条件更弱).

在这一章节中，我们将探讨函数分析中的各种空间类型，包括拓扑空间,赋范空间,内积空间和希尔伯特空间等。

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集合#

集合（英语：set）简称集，是一个基本的数学模型，指若干不同对象（英语：object）形成的总体。集合里的对象称作元素或成员.

笛卡尔积: 给定两个集合A和B,它们的笛卡尔积记作 $A \times B$ ,定义为所有有序对(a,b)的集合,其中 $a\in A$ , $b \in B$ .

拓扑空间#

def: 拓扑空间是一个集合 $X$ ，配备了一个拓扑 $\tau$ ，即 $X$ 的子集族，满足以下条件：
1. 空集和全集属于 $\tau$ ，即 $\emptyset \in \tau$ 且 $X \in \tau$ 。
2. 任意多个 $\tau$ 中的集合的并集仍然属于 $\tau$ 。
3. 有限多个 $\tau$ 中的集合的交集仍然属于 $\tau$ 。

度量空间#

def: 度量空间是一个集合 $M$ ，配备了一个度量（距离函数） $d: M \times M \to \mathbb{R}$ ，满足以下条件：
1. 非负性：对于所有 $x, y \in M$ ，有 $d(x, y) \geq 0$ ，且 $d(x, y) = 0$ 当且仅当 $x = y$ 。
2. 对称性：对于所有 $x, y \in M$ ，有 $d(x, y) = d(y, x)$ 。
3. 三角不等式：对于所有 $x, y, z \in M$ ，有 $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ 。

向量空间#

def: 向量空间是一个集合 $V$ ，配备了两个运算：向量加法和标量乘法，满足以下条件：
1. 向量加法满足交换律和结合律，并存在零向量和负向量。
2. 标量乘法满足分配律、结合律，并存在单位元。

赋范空间#

def: 赋范空间是一个向量空间 $V$ ，配备了一个范数 $\|\cdot\|: V \to \mathbb{R}$ ，满足以下条件：
1. 非负性：对于所有 $v \in V$ ，有 $\|v\| \geq 0$ ，且 $\|v\| = 0$ 当且且 $v = 0$ 。
2. 齐次性：对于所有 $v \in V$ 和标量 $\alpha$ ，有 $\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|$ 。
3. 三角不等式：对于所有 $v, w \in V$ ，有 $\|v + w\| \leq \|v\| + \|w\|$ 。

此外还有准范数空间，区别在于准范数不要求满足三角不等式(可以放宽为某个常数倍),可以凹。

内积空间#

def: 内积空间是一个向量空间 $V$ ，配备了一个内积 $\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{R}$ （或 $\mathbb{C}$ ），满足以下条件：
1. 对称性：对于所有 $v, w \in V$ ，有 $\langle v, w \rangle = \overline{\langle w, v \rangle}$ 。
2. 线性性：对于所有 $v, w, u \in V$ 和标量 $\alpha$ ，有 $\langle \alpha v + w, u \rangle = \alpha \langle v, u \rangle + \langle w, u \rangle$ 。
3. 正定性：对于所有 $v \in V$ ，有 $\langle v, v \rangle \geq 0$ ，且 $\langle v, v \rangle = 0$ 当且仅当 $v = 0$ 。

空间的可分性和完备性#

def: 可分空间是指存在一个可数稠密子集的空间。

def: 完备空间是指每个柯西序列都收敛于空间中的某个点的空间。

柯西序列:def: 在度量空间 $(M, d)$ 中，序列 $(x_n)$ 称为柯西序列，如果对于每个 $\epsilon > 0$ ，存在一个正整数 $N$ ，使得对于所有 $m, n > N$ ，都有 $d(x_m, x_n) < \epsilon$ 。

注意柯西序列不一定收敛于空间中的某个点，除非空间是完备的。但我们总可以完备一个空间，使得所有柯西序列都收敛于完备空间中的某个点。所以柯西序列不一定收敛这句话是对的, 柯西序列也总可以收敛也是对的.

例如，有理数集 $Q$ 在通常的距离下不是完备的，因为存在柯西序列（例如逼近 $\sqrt{2}$ 的有理数序列）在 $Q$ 中不收敛。然而，实数集 $R$ 是完备的，因为每个柯西序列都收敛于 $R$ 中的某个点。

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紧#

紧=列紧=可数紧

def: 紧空间是指每个开覆盖都有有限子覆盖的空间。
def: 列紧空间是指每个序列都有收敛子序列的空间。
def: 可数紧空间是指每个可数开覆盖都有有限子覆盖的的空间。

覆盖:def: 给定集合 $X$ ，一个覆盖是 $X$ 的子集的集合 $\{A_\alpha\}_{\alpha \in A}$ ，使得 $X = \bigcup_{\alpha \in A} A_\alpha$ 。
开覆盖:def: 给定拓扑空间 $(X, \tau)$ ，一个开覆盖是 $X$ 的开子集的集合 $\{U_\alpha\}_{\alpha \in A}$ ，使得 $X = \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha$ 。

各种特殊的性质#

最后更新: 2026-01-06
创建日期: 2026-01-06