算子和泛函 -空间上的作用#
线性算子#
def:T:X->Y是从赋范空间X到赋范空间Y的一个映射，如果对于所有x1,x2属于X和标量α，满足以下条件：
1. 加法保持性：T(x1 + x2) = T(x1) + T(x2)
2. 齐次性：T(αx1) = αT(x1)
则称T为线性算子。
有界算子:def:如果存在一个常数C >= 0，使得对于所有x属于X，有||T(x)||_Y \leq C ||x||_X，则称T为有界算子。
注意有界算子的有界不是值域有界，而是指算子作用下的输出与输入之间存在一个线性界限。 有界不是D也不是R上的有界,是放大倍数的有界.
注意有界与连续的等价性。
算子的范数:def:设T:X->Y是一个有界线性算子，则T的范数定义为
||T|| = sup_{x \neq 0} \frac{||T(x)||_Y}{||x||_X} = sup_{||x||_X = 1} ||T(x)||_Y
第二个=号成立是因为线性算子linear。
紧线性算子(全连续算子):def:设T:X->Y是一个线性算子，如果对于X中任意有界子集B，T(B)在Y中是相对紧的（即其闭包是紧集），则称T为紧线性算子。
相对紧集合:def:设Y是赋范空间，A是Y的子集，如果A的闭包是紧集，则称A为相对紧集合。
线性泛函#
def:设X是一个赋范空间，如果f:X->R(或C)是一个线性算子，则称f为X上的一个泛函。
有界线性泛函:def:如果存在一个常数C >= 0，使得对于所有x属于X，有|f(x)| \leq C ||x||_X，则f为有界泛函。
hilbert空间上的泛函:
Resizt定理(里斯表示定理):设H是一个希尔伯特空间，f:H->R(或C)是H上的一个有界线性泛函，则存在唯一的向量y属于H，使得对于所有x属于H，有f(x) = <x,y>，其中<.,.>表示H上的内积。
泛函的范数:def:设f:X->R(或C)是一个有界线性泛函，则f的范数定义为
||f|| = sup_{x \neq 0} \frac{|f(x)|}{||x||_X} = sup_{||x||_X = 1} |f(x)|.
准线性泛函:def:如果f:X->R(或C)是一个线性泛函，且存在一个常数C >= 0，使得对于所有x属于X，有|f(x)| \leq C ||x||_X^p，其中0 < p <= 1，则称f为准线性泛函。
创建日期: 2026-01-06