泛函四大基石定理#
hahn-banach 定理#
设 X 是实线性空间，p 是 X 上的次线性泛函。若 f 是定义在子空间 Z \subset X 上的线性泛函，且满足 |f(x)| \le p(x) , \forall x \in Z ，则在整个空间 X 上存在线性泛函 F，使得：
F|_Z = f （延拓性）
|F(x)| \le p(x) $ \forall x \in X$ 成立（保号/保范性）
物理直观： 它保证了对偶空间 X^* 足够大。在量子力学中，这意味着对于任何态向量，我们都能找到足够的观测物理量（线性泛函）来描述它。
一致有界原理(Uniform Boundedness Principle / Banach-Steinhaus Theorem) 共鸣定理#
def： 设 X 是 Banach 空间，Y 是赋范线性空间。若算子族 \mathcal{T} \subset \mathcal{B}(X, Y) 是逐点有界的，即对于每个 x \in X，有 \sup_{T \in \mathcal{T}} \|Tx\| < \infty，则该算子族是一致有界的，即：\sup_{T \in \mathcal{T}} \|T\| < \infty
保证了在点态下的有界性可以推广到整个空间的有界性。
开映像定理#
def： 设 X, Y 是 Banach 空间。若 T: X \to Y 是连续线性算子且是满射（Surjective），则 T 是一个开映射（即 T 将 X 中的开集映射为 Y 中的开集）。
保证了线性算子在满射情况下的“良好行为”，即它们不会将开集压缩成非开集。 保证了逆算子的存在性和连续性。
闭图像定理#
def:设 X, Y 是 Banach 空间，T: X \to Y 是线性算子。若 T 的图像 G(T) = \{(x, Tx) : x \in X\} 在 X \times Y 中是闭集，则 T 是连续的（有界的）。
保证了线性算子的连续性与其图像闭合性的等价性。这在分析线性算子的性质时非常有用。
逼近论的应用#
对中值定理的抽象.
banach不动点定理#
设 (X, d) 是一个非空的完备度量空间。若映射 T: X \to X 是一个压缩映射，即存在常数 0 \le k < 1，使得对于所有 x, y \in X：d(Tx, Ty) \le k \cdot d(x, y)则 T 在 X 中有且仅有一个不动点 x^*（即 Tx^* = x^*）。
应用： 这是微分方程和积分方程解的存在唯一性证明的核心，比如在计算散射振幅的 Lippmann-Schwinger 方程 迭代求解时，其本质就是寻找不动点。
强收敛弱收敛 弱星收敛#
对于赋范空间,
序列\{x_n\} 强收敛到 x，如果 \lim_{n \to \infty} \|x_n - x\| = 0。
序列\{x_n\} 弱收敛到 x，如果对于每个 f^* \in X^*，\lim_{n \to \infty} f^*(x_n) = f^*(x)。
对于算子序列\{T_n\}，
\forall x \in X，\lim_{n \to \infty} \|T_n x - Tx\| = 0，则称 \{T_n\} 强收敛到 T。
\forall x \in X 和每个 f^* \in Y^*，\lim_{n \to \infty} f^*(T_n x) = f^*(Tx)，则称 \{T_n\} 弱收敛到 T。
对于泛函序列\{f_n\}，
\forall x \in X，\lim_{n \to \infty} |f_n(x) - f(x)| = 0，则称 \{f_n\} 强收敛到 f。
\forall x \in X，\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)，则称 \{f_n\} 弱星收敛到 f。
创建日期: 2026-01-06