谱理论

def

本征值与本征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors)

若存在复数 $\lambda\in\mathbb{C}$ 及非零向量 $x\in\mathcal{D}(A)$，使得

$$Ax=\lambda x$$

则称 $\lambda$ 为算子 $A$ 的本征值 (eigenvalue)，称 $x$ 为对应的本征向量 (eigenvector)。

本征空间 (Eigenspace)

对应于本征值 $\lambda$ 的所有本征向量与零向量组成的集合，记作 $E_\lambda$：$E_\lambda=\{x\in\mathcal{D}(A):(A-\lambda I)x=0\}=\ker(A-\lambda I)$
其维度称为该本征值的几何重数。

预解集 (Resolvent Set) 与 预解式 (Resolvent)

算子 $A$ 的预解集 $\rho(A)$ 定义为使得 $(A-\lambda I)$ 存在有界逆算子的复数 $\lambda$ 的集合。即 $\lambda\in\rho(A)$ 当且仅当 $(A-\lambda I)$ 是双射且其逆算子 $(A-\lambda I)^{-1}$ 有界。逆算子亦称预解式：$R_\lambda(A)=(A-\lambda I)^{-1}.$

由于$R_\lambda(A)$对解方程有帮助， “预解式”这一名称是合适的．

谱 (Spectrum)

谱 $\sigma(A)$ 定义为$\sigma(A)=\mathbb{C}\setminus\rho(A)$ . $\quad$有些地方用减号不用除号.

或者 $\sigma(A)=\{\lambda\in\mathbb{C}:(A-\lambda I) \text{无界或不可逆}\}$.

在无限维空间中，谱通常分为：
- 点谱 (Point spectrum) $\sigma_p(A)$：包含所有本征值 $\lambda$（即 $(A-\lambda I)$ 非可逆且存在非零解）。 也就是说(A-λI)不是单射. $(A-\lambda I)^-1$不存在
- 连续谱 (Continuous spectrum) $\sigma_c(A)$：$(A-\lambda I)$ 是单射且值域$R(A-\lambda I)$稠密，但逆算子不有界。 也就是说(A-λI)是单射但不是满射. $(A-\lambda I)^-1$ 存在但无界.
- 残余谱 (Residual spectrum) $\sigma_r(A)$：$(A-\lambda I)$ 不是满射（值域$R(A-\lambda I)$不稠密）。

residual spectrum 残余谱几乎不出现在物理应用中. 对于自伴算子（Self-adjoint Operator）——即量子力学中的可观测量——残谱是空的（σr​=∅）。 这就是为什么我们在物理课上通常只听说过“离散谱”和“连续谱”，而没听说过“残谱”。它通常出现在非厄米算子（如非幺正的移位算子）中。

谱半径 (Spectral Radius)

算子 $A$ 的谱半径定义为

$$
r(A)=\sup{|\lambda|:\lambda\in\sigma(A)}.

$$

谱分解 (Spectral Decomposition)

对于某些算子（例如自伴算子或正规算子），可由谱定理将其表示为谱测度或本征向量的“分解”，用于构造函数算子等。

在量子力学中，算子的谱对应于可观测量的可能测量结果：本征值为测量值，本征向量为对应的量子态。通过谱分析可研究系统性质与动力学。

resolvent性质

预解式和谱的其他性质 (Resolvent ...)

预解式方程 (Resolvent Equation)：
$R_\lambda - R_\mu = (\lambda - \mu) R_\lambda R_\mu$

证明:

考虑等式左边的算符形式。由于 $R_\lambda$ 和 $R_\mu$ 是逆算符，我们可以利用恒等式 $I = (A - \mu I) R_\mu$ 和 $I = (A - \lambda I) R_\lambda$。利用左乘和右乘技巧：

$R_\lambda - R_\mu = R_\lambda \cdot I - I \cdot R_\mu$

代入单位算符 $I$ 的不同表达形式：

$R_\lambda - R_\mu = R_\lambda (A - \mu I) R_\mu - R_\lambda (A - \lambda I) R_\mu$

利用线性算子的分配律，提取共同的因子

$R_\lambda$（左侧）和 $R_\mu$（右侧）：

$R_\lambda - R_\mu = R_\lambda \left[ (A - \mu I) - (A - \lambda I) \right] R_\mu$

简化方括号内的各项：

$(A - \mu I) - (A - \lambda I) = A - \mu I - A + \lambda I = (\lambda - \mu) I$

代回原式，由于 $\lambda, \mu$ 是复数（标量），可以移到最前面：

$R_\lambda - R_\mu = R_\lambda [(\lambda - \mu) I] R_\mu = (\lambda - \mu) R_\lambda R_\mu$

证毕。

物理：这在物理中被称为希尔伯特恒等式 (Hilbert Identity)，是推导微扰论和戴森级数 (Dyson Series) 的基础。

假设我们有一个基准算符（自由哈密顿量）$H_0$ 和一个扰动项 $V$，总算符为 $H = H_0 + V$。
定义它们的预解式为：
* $G_0(z) = (zI - H_0)^{-1}$ （自由传播子）
* $G(z) = (zI - H)^{-1}$ （全传播子）

我们可以写出如下算符恒等式：

$(zI - H_0) - (zI - H) = H - H_0 = V$

两边同时左乘 $G_0(z)$，右乘 $G(z)$：

$G_0(z) [ (zI - H_0) - (zI - H) ] G(z) = G_0(z) V G(z)$

利用算符与其逆的关系 $G_0(z)(zI - H_0) = I$ 和 $(zI - H)G(z) = I$，化简得：

$G(z) - G_0(z) = G_0(z) V G(z)$

移项得到算符形式的 Lippmann-Schwinger 方程：

$G(z) = G_0(z) + G_0(z) V G(z)$

解析性：了解预解算子 $R_\lambda(T)$ 作为 $\lambda$ 的函数，在预解集上是解析的。谱实际上就是这个函数的奇点（极点对应束缚态，割线对应连续谱）。

复分析工具在谱论中的应用：

复分析在谱论中的应用

这一节是物理学家最得心应手的地方。

核心工具：全纯泛函演算 (Holomorphic Functional Calculus)。
$f(T)=2\pi i \oint_\Gamma f(\lambda) R_\lambda(T) d\lambda$

物理映射：这就是我们怎么计算算子函数的。比如时间演化算子 $U(t)=e^{-iHt}$，本质上就是对格林函数进行围道积分。

需要理解如何用柯西积分公式把“函数”作用在“算子”上。

一切都源于复变函数中最经典的柯西积分公式。

Step 1: 回忆标量情况

设 $f(z)$ 是一个全纯函数（解析函数）。如果你想求它在某个点 $a$ 的值 $f(a)$，你不需要直接代入 $a$，而是可以在 $a$ 周围画一个圈 $\Gamma$，然后算积分：

$$f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma} \frac{f(\lambda)}{\lambda - a} d\lambda$$

这里 $\Gamma$ 必须包围点 $a$。

Step 2: 从数 $a$ 到算子 $T$

现在，如果我们想定义 $f(T)$（比如 $e^T$, $\sin T$, $\sqrt{T}$），我们直接把上面的 $a$ 换成算子 $T$。

• 数值 $a$ $\longrightarrow$ 算子 $T$
• 分母中的 $1$ $\longrightarrow$ 单位算子 $I$
• 除法 $\frac{1}{\lambda - a}$ $\longrightarrow$ 逆算子 $(\lambda I - T)^{-1}$

于是，公式变成了：

$$f(T) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma} f(\lambda) (\lambda I - T)^{-1} d\lambda$$

这里的 $(\lambda I - T)^{-1}$ 正是我们在谱论中定义的预解算子（差一个负号，通常 $R_\lambda(T) = (T - \lambda I)^{-1}$，所以符号会抵消，或者调整积分方向）。

核心思想：
我们利用预解算子作为“内核”，把定义在复平面上的函数 $f(\lambda)$ “投影”到了算子空间上。

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格林函数与极点

对于物理学家来说，预解算子就是格林函数。

$$G(\lambda) = \frac{1}{\lambda - H}$$

其中 $H$ 是哈密顿量，$\lambda$ 是能量参数（通常记为 $E$）。

公式的物理意义

当我们计算算子函数 $f(H)$（例如时间演化算子 $U(t) = e^{-iHt}$）时，全纯泛函演算告诉我们：

$$e^{-iHt} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma} e^{-i\lambda t} \frac{1}{\lambda - H} d\lambda$$

这个积分在干什么？
1. 扫描能谱：积分围道 $\Gamma$ 包围了哈密顿量 $H$ 的所有本征值（能级）。
2. 提取留数：格林函数 $\frac{1}{\lambda - H}$ 在 $H$ 的本征值 $E_n$ 处有极点。
3. 加权求和：柯西积分定理告诉我们，围道积分等于所有极点的留数之和。

如果 $H$ 有离散能级 $E_n$ 和本征态 $|n\rangle$，格林函数可以写成谱分解形式：

$$\frac{1}{\lambda - H} = \sum_n \frac{|n\rangle\langle n|}{\lambda - E_n}$$

把它代入积分公式：

$$\begin{aligned} f(H) &= \frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma} f(\lambda) \left( \sum_n \frac{|n\rangle\langle n|}{\lambda - E_n} \right) d\lambda \\ &= \sum_n |n\rangle\langle n| \underbrace{\left( \frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma} \frac{f(\lambda)}{\lambda - E_n} d\lambda \right)}_{\text{柯西公式} \implies f(E_n)} \\ &= \sum_n f(E_n) |n\rangle\langle n| \end{aligned}$$

结论：
这正是我们熟悉的量子力学操作——在能量本征基下，算子函数直接作用在把本征值上（即 $e^{-iHt}|n\rangle = e^{-iE_n t}|n\rangle$）。

但全纯泛函演算的威力在于：即使你解不出本征值（或者有连续谱），这个积分表达式依然成立！它提供了一种不依赖于对角化的、更本质的定义方式。

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3. 一个具体的矩阵例子

为了彻底搞懂，我们算一个简单的 $2 \times 2$ 矩阵。
设 $T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$。我们想算 $e^{tT}$（即旋转矩阵）。

1. 求本征值（奇点位置）：
   $\det(\lambda I - T) = \lambda^2 + 1 = 0 \implies \lambda = \pm i$。
   谱是 $\sigma(T) = \{i, -i\}$。

2. 求预解算子（格林函数）：
   $$
   (\lambda I - T)^{-1} = \begin{pmatrix} \lambda & -1 \ 1 & \lambda \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{\lambda^2 + 1} \begin{pmatrix} \lambda & 1 \ -1 & \lambda \end{pmatrix}
   $$

3. 应用公式：
   令 $f(\lambda) = e^{\lambda t}$。我们需要计算：
   $$
   e^{tT} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma} e^{\lambda t} \frac{1}{(\lambda - i)(\lambda + i)} \begin{pmatrix} \lambda & 1 \ -1 & \lambda \end{pmatrix} d\lambda
   $$
   围道 $\Gamma$ 包围 $\pm i$。

4. 计算留数：

   • 在 $\lambda = i$ 处：
     $$
     \text{Res}(i) = \lim_{\lambda \to i} (\lambda - i) [\dots] = e^{it} \frac{1}{2i} \begin{pmatrix} i & 1 \ -1 & i \end{pmatrix}
     $$
   • 在 $\lambda = -i$ 处：
     $$
     \text{Res}(-i) = \lim_{\lambda \to -i} (\lambda + i) [\dots] = e^{-it} \frac{1}{-2i} \begin{pmatrix} -i & 1 \ -1 & -i \end{pmatrix}
     $$

5. 相加得到结果：
   利用欧拉公式 $\cos t = \frac{e^{it} + e^{-it}}{2}, \sin t = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}$：

   $$e^{tT} = \text{Res}(i) + \text{Res}(-i) = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}$$

   看！我们通过复积分，完美推导出了旋转矩阵。

总结

对于物理学家，全纯泛函演算就是：
利用格林函数 $(\lambda - H)^{-1}$ 将算子转化为复平面上的函数，通过围道积分，“筛选”出物理系统的能级信息，从而定义算子的演化。

它比泰勒展开（$e^X = 1 + X + \dots$）更强大，因为它可以处理算子无界的情况（只要积分收敛），这在量子场论中至关重要。

有界线性算子的谱性质

谱半径 (Spectral Radius) $r_\sigma(T)$：

$$
r_\sigma(T) = \lim_{n \to \infty} |T^n|

$$

物理映射：它决定了微扰级数（如纽曼级数 $\sum T^n$）是否收敛。如果物理系统的耦合常数太大，导致算子范数超过收敛半径，微扰论就失效了（非微扰物理）。

紧算子 (Compact Operators)：紧算子的谱性质最像有限维矩阵（只有点谱），对应于束缚在有限箱子里的粒子。

紧线性算子(全连续算子):def:设T:X->Y是一个线性算子，如果对于X中任意有界子集B，T(B)在Y中是相对紧的（即其闭包是紧集），则称T为紧线性算子。

赋范空间紧算子的谱性质

为什么有些能级是离散的？（第 8 章）

物理对应：束缚态、谐振子、盒中粒子。

定义 (8.1)：它是一种“很像有限维矩阵”的无限维算子。

谱性质 (8.3)：这是物理学家必须记住的结论！

紧算子的非零谱点全是本征值（没有连续谱）。

这些本征值是离散的，且只能聚积在 0 点。

物理意义：为什么原子在低能区的能级是一条条分立的？因为描述束缚态的哈密顿量的逆（或相关的积分算子）通常是紧算子。紧性保证了能级离散化。

弗雷德霍姆择一性 (Fredholm Alternative) (8.7)：

要么方程有唯一解，要么对应的齐次方程有非零解。

物理意义：在散射理论（Lippmann-Schwinger 方程）中用于讨论解的存在性。

谱定理 谱分解

几乎只在希尔伯特空间中使用。其他空间没有正交的性质.

本节主要讨论希尔伯特空间中的有界自伴线性算子的谱定理 (Spectral Theorem)。

物理对应：厄米算符、投影测量、完备性关系。

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最后更新: 2026-01-06
创建日期: 2026-01-06