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散射理论#

1. 数学基础 — 希尔伯特空间 (Hilbert Space)#

在量子力学中，物理系统的态由希尔伯特空间 \mathcal{H} 中的态矢量描述。希尔伯特空间是带内积 \langle\cdot|\cdot\rangle 的完备矢量空间。

  • 内积 (Inner product)：概率幅 \langle\phi|\psi\rangle，概率为 |\langle\phi|\psi\rangle|^2。
  • 完备性 (Completeness)：所有柯西序列收敛于空间内点，保证极限运算良定。
  • 可分离 (Separable)：存在可数稠密子集或可数正交归一基。

常见例子：
- 有限维：\mathbb{C}^n，如自旋-½ 系统 \mathcal{H}=\mathbb{C}^2：
|\psi\rangle=\alpha|\uparrow\rangle+\beta|\downarrow\rangle=\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix},\quad |\alpha|^2+|\beta|^2=1.
内积 \langle\phi|\psi\rangle=\phi_1^*\psi_1+\phi_2^*\psi_2。
- 可数基（例如 \ell^2）：平方可和复数序列 a=(a_1,a_2,\dots) 满足 \sum|a_n|^2<\infty。例：一维谐振子，基态 |n\rangle。
- L^2(\mathbb{R}^3)：平方可积波函数 \psi(\mathbf{x})，内积
\langle\phi|\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^3}\phi^*(\mathbf{x})\psi(\mathbf{x})\,d^3x.
注意平面波 e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} 为广义本征矢，需用配备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）处理。

2. 态的极限与 Møller 算符#

在散射理论中“入/出”态通过 t\to\mp\infty 的极限定义。

  • 强极限 (strong limit)：s\text{-}\lim_{n\to\infty}|\psi_n\rangle=|\psi\rangle 当且仅当
    \lim_{n\to\infty}\||\psi_n\rangle-|\psi\rangle\|=0.
  • 弱极限 (weak limit)：w\text{-}\lim_{n\to\infty}|\psi_n\rangle=|\psi\rangle 当且仅当对任意固定 |\phi\rangle\in\mathcal{H}，
    \lim_{n\to\infty}\langle\phi|\psi_n\rangle=\langle\phi|\psi\rangle.
    强收敛蕴含弱收敛，反之不然。

Møller 算符（要求为强极限）将自由演化态映射到相互作用态：
\Omega_\pm=\lim_{t\to\mp\infty} e^{iHt/\hbar}e^{-iH_0 t/\hbar}.
入态/出态定义为 |\psi^{(\pm)}\rangle=\Omega_\pm|\phi\rangle。

3. S、R、T 矩阵#

  • S 算符（散射算符）：将入态映射到出态
    |\psi_{out}\rangle=S|\psi_{in}\rangle,\qquad S=\Omega_-^\dagger\Omega_+.
    矩阵元 S_{fi}=\langle\phi_f|S|\phi_i\rangle。
  • R 算符（Reaction）：去掉未散射的单位部分
    S=\mathbf{1}+R.
  • T 算符（跃迁算符）：通过能量 \delta 把 R 的能量守恒部分分离出来
    R_{fi}=-2\pi i\,\delta(E_f-E_i)\,T_{fi},
    即
    S_{fi}=\delta_{fi}-2\pi i\,\delta(E_f-E_i)\,T_{fi}.
    在壳 (on-shell) 的 T_{fi} 可由相互作用势 V 與入态求得：
    T_{fi}=\langle\phi_f|V|\psi_i^{(+)}\rangle.

4. Resolvent（G 算符）与 Lippmann–Schwinger 方程#

  • 预解算符（Resolvent）：
    G(z)=(z-H)^{-1},\qquad G_0(z)=(z-H_0)^{-1},\quad z\in\mathbb{C}.
  • Dyson 恒等式：
    G=G_0+G_0 V G = G_0 + G V G_0.
  • Lippmann–Schwinger 方程（散射态）：
    |\psi^{(\pm)}\rangle=|\phi\rangle+G_0(E\pm i0) V |\psi^{(\pm)}\rangle,
    其中 H_0|\phi\rangle=E|\phi\rangle，i0（i\epsilon,\ \epsilon\to0^+）指定边值并保证正确渐进行为。
  • T 算符的表示与方程：
    T(z)=V+V G(z) V = V + V G_0(z) T(z).
    取 z=E_i+i0 得 T_{fi}=\langle\phi_f|T(E_i+i0)|\phi_i\rangle。

5. 分波 (Partial Waves) — 选取basis#

对中心势 V(\mathbf r)=V(r)，系统旋转不变，[H,L^2]=[H,L_z]=0，可取共同本征态 |E,l,m\rangle 或 |k,l,m\rangle。

  • 平面波的分波展开：
    e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l 4\pi i^l j_l(kr) Y_{lm}^*(\hat{\mathbf k}) Y_{lm}(\hat{\mathbf r}).
    若 \hat{\mathbf k}=\hat{\mathbf z}：
    e^{ikz}=\sum_{l=0}^\infty(2l+1)i^l j_l(kr)P_l(\cos\theta).
  • 相移 (phase shift)：每一分波在远场产生相移 \delta_l(k)：
    • 自由径向波：R_l(r)\sim\sin(kr-l\pi/2)
    • 散射后：R_l(r)\sim\sin(kr-l\pi/2+\delta_l)
  • 散射振幅与分波展开：
    f(\theta)=\sum_{l=0}^\infty (2l+1) f_l(k) P_l(\cos\theta),
    其中
    f_l(k)=\frac{e^{i\delta_l}\sin\delta_l}{k}=\frac{1}{k\cot\delta_l-ik}.
    分波法将三维问题化为若干径向一维问题（求 \delta_l），低能下常只需少数几个分波。

6. 角动量叠加 & Hilbert 空间叠加#

当粒子具有内部自由度（如自旋）或我们考虑多个粒子的系统时，需要用到希尔伯特空间的叠加。

Hilbert 空间叠加 (Tensor Product):
如果一个系统由两个子系统 1 和 2 组成（例如，一个粒子的轨道运动 \mathcal{H}_{orb} 和它的自旋 \mathcal{H}_{spin}），那么复合系统的希尔伯特空间是两个子系统希尔伯特空间的张量积 (Tensor Product)：

\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2

如果 \{|i\rangle_1\} 是 \mathcal{H}_1 的基，\{|j\rangle_2\} 是 \mathcal{H}_2 的基，那么 \mathcal{H} 的一组基是 \{|i\rangle_1 \otimes |j\rangle_2\}，常简记为 |i, j\rangle。

例子: 一个自旋 s 的粒子在空间中运动。

\mathcal{H} = \mathcal{H}_{orbital} \otimes \mathcal{H}_{spin} \cong L^2(\mathbb{R}^3) \otimes \mathbb{C}^{2s+1}

一个态矢量可以写为 |\psi\rangle，其波函数为 \psi(\mathbf{x}, m_s) = \langle \mathbf{x}, m_s | \psi \rangle，是一个 (2s+1) 分量的自旋波函数。

角动量叠加 (Angular Momentum Addition):
这是张量积空间中一个极其重要的应用。假设子系统 1 有角动量 \mathbf{J}_1，子系统 2 有角动量 \mathbf{J}_2。
总角动量算符定义在 \mathcal{H} 上：

\mathbf{J} = \mathbf{J}_1 \otimes \mathbf{1} + \mathbf{1} \otimes \mathbf{J}_2 \quad (\text{简记为 } \mathbf{J} = \mathbf{J}_1 + \mathbf{J}_2)

基的变换:
在 \mathcal{H} 空间中，我们有两组常用的基：

  • 非耦合基 (Uncoupled Basis): |j_1, m_1; j_2, m_2\rangle
    它们是 J_1^2, J_{1z}, J_2^2, J_{2z} 的共同本征矢。

  • 耦合基 (Coupled Basis): |j_1, j_2; J, M\rangle
    它们是 J_1^2, J_2^2, J^2, J_z 的共同本征矢。（注意 J^2 = (\mathbf{J}_1+\mathbf{J}_2)^2）

这两组基通过 Clebsch-Gordan (CG) 系数 \langle j_1 m_1, j_2 m_2 | J M \rangle 进行变换：

|j_1, j_2; J, M\rangle = \sum_{m_1, m_2} \langle j_1 m_1, j_2 m_2 | J M \rangle |j_1, m_1; j_2, m_2\rangle

在散射理论中的应用:
当相互作用 V 不仅仅是中心势 V(r)，而是包含自旋相关的项时（例如 自旋-轨道耦合 V_{SO} \propto \mathbf{L} \cdot \mathbf{S}）：

H 不再与 \mathbf{L} 和 \mathbf{S} 单独对易。

L^2 和 S_z 不再是守恒量。

但是，如果 V 仍然是旋转不变的（例如 \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} 项），H 仍然与总角动量 \mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S} 对易。

[H, J^2] = 0, \quad [H, J_z] = 0

在这种情况下，分波展开的正确 basis 不再是 |l, m_l\rangle，而是耦合基 |l, s; J, M\rangle。

散射在 J 和 M 表象下是对角的（J 和 M 守恒），但S矩阵元 \langle l', s; J, M | S | l, s; J, M \rangle 可能在 l 上非对角（即 l 不守恒，例如在张量势作用下）。

最后更新: 2025-11-06
创建日期: 2025-03-30