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Construct basis

这是关于 S.B.S. Miller 在其博士论文和 PRC 2022 工作中，为求解三核子（NNN）Faddeev 方程所采用的计算基（computational basis）的技术说明，目标是提供足够的信息以便复现其计算框架。

概览：两阶段基选择策略#

为便于数值求解，采用两阶段基选择策略：

  1. 理论基（连续）

    • 目标：在理论上严格定义 NNN 系统的希尔伯特空间。
    • 选择：三核子偏波基（Three-Nucleon Partial-Wave Basis），以雅可比动量 \(p\) 与 \(q\) 为连续变量。

  2. 计算基（离散）

    • 目标：将连续理论基离散化，得到有限维矩阵问题。
    • 选择：波包连续区离散化（Wave-Packet Continuum Discretization, WPCD）。

下面按步骤详细说明两部分与数值实现要点。

第一部分：理论基 — 偏波基（Partial-Wave Basis）#

在计算之前需定义系统的量子态，采用 (Jj) 耦合方案，偏波基向量记为 \(|p,q;\alpha\rangle\)，其中 \(\alpha\) 由以下量子数定义：

  • 对（由 \(\vec p\) 描述）：
  • \(L\)：轨道角动量
  • \(S\)：两体自旋（\(0\) 或 \(1\)）
  • \(J\)：两体总角动量 \(\vec J=\vec L+\vec S\)

  • \(T\)：两体同位旋（\(0\) 或 \(1\)）

  • 旁观者（由 \(\vec q\) 描述）：

  • \(l\)：轨道角动量
  • \(s\)：自旋（\(1/2\)）
  • \(j\)：旁观者总角动量 \(\vec j=\vec l+\vec s\)

  • \(t\)：同位旋（\(1/2\)）

  • 总和：

  • \(\mathcal J=\vec J+\vec j\)：总角动量
  • \(\mathcal T=\vec T+\vec t\)：总同位旋
  • \(\mathcal T_z\)：总同位旋 z 分量

总结：
$$
|p,q;\alpha\rangle \equiv |p,q;(LS)J,(ls)j,(Jj)\mathcal J,(Tt)\mathcal T,\mathcal T_z\rangle
$$

在数值计算中需截断角动量空间（例如工作中使用 \(\mathcal J \le 17/2\) 和 \(J \le 3\)）。

第二部分：计算基 — WPCD 离散化#

目标是把连续基 \(|p,q;\alpha\rangle\) 离散化，使 AGS（Faddeev）方程
$$
\hat U = \hat P \hat v + \hat P \hat v \hat G_1(E) \hat U
$$
可转化为有限维矩阵方程。

WPCD 的核心思想是用波包（wave packet）将动量轴分箱并构建两类基：

步骤 1：定义输入基 — 自由波包（FWP）#

  • 一维 FWP \(|x_i\rangle_p\) 表示动量区间（箱）\(\mathcal D_i=[k_i,k_{i+1}]\) 上所有平面波的归一化积累：
    $$
    |x_i\rangle_p = \frac{1}{N_i}\int_{\mathcal D_i} f(p)\,|p\rangle\,p\,dp
    $$
    其中 \(f(p)\) 与归一化因子 \(N_i\) 依具体选择而定。

  • 三核子 FWP 基为张量积：
    $$
    |X_{ij}^\alpha\rangle = |x_i\rangle_p \otimes |\overline{x}_j\rangle_q \otimes |\alpha\rangle.
    $$

  • 网格选择（可复现要点）：

  • 使用广义切比雪夫网格（generalized Chebyshev grid）。
  • 网格点生成公式：
    $$
    p_i = \alpha \cdot \tan^{t}!\left(\frac{2i-1}{4N_{WP}}\pi\right),\quad i=1,\dots,N_{WP}.
    $$
  • 常用参数示例：\(N_{WP}=50,75,100,\dots\)；\(\alpha=200\ \text{MeV}\)；\(t=1\)。
  • 在 \(p\) 和 \(q\) 自由度上通常使用相同的 \(N_{WP}\) 和网格参数。

步骤 2：定义求解基 — 散射波包（SWP）#

  • 通道哈密顿量：
    $$
    \hat H_1 = \hat h_{NN} + \hat h_{\text{spec}} = (\hat h_0^{(p)} + \hat v_{23}) + \hat h_0^{(q)}.
    $$
    通道格林函数 \(\hat G_1(E)=(E-\hat H_1+i\epsilon)^{-1}\) 在 FWP 基上通常是非对角的。

  • 思路：在使 \(\hat G_1\) 对角的本征基上求解。由于 \(\hat h_{NN}\) 与 \(\hat h_{\text{spec}}\) 可对易，本征基为各自本征基的张量积：

  • \(\hat h_{\text{spec}}\) 的本征基：FWP \(|\overline{x}_j\rangle_q\)（旁观者自由）。

  • \(\hat h_{NN}\) 的本征基：两体相互作用系统的本征态，即散射波包（SWP） \(|z_i^\alpha\rangle_p\)。

  • 混合求解基：
    $$
    |Z_{ij}^\alpha\rangle = |z_i^\alpha\rangle_p \otimes |\overline{x}_j\rangle_q,
    $$
    在此基上 \(\hat G_1(E)\) 为对角矩阵，其对角元可通过 SWP 本征能量与旁观者能量解析得到。

步骤 3：构建转换矩阵 C（FWP ↔ SWP）#

  • 在一维 FWP 基 \(|x_i\rangle_p\) 上构建两体哈密顿量矩阵：
    $$
    (\mathbf H_{NN}){ik} = \langle x_i|\hat h + \hat v |x_k\rangle.}|x_k\rangle = \langle x_i| \hat h_0^{(p)
    $$
    这是一个 \(N_{WP}\times N_{WP}\) 的实对称矩阵。

  • 对角化 \(\mathbf H_{NN}\)（例如用 LAPACK 的 dsyev 等例程）：
    $$
    \mathbf H_{NN} = \mathbf C \mathbf D \mathbf C^T.
    $$
    返回的本征向量矩阵 \(\mathbf C\) 的列即 SWP 在 FWP 基上的表示，元素 \(C_{ki}=\langle x_k|z_i\rangle\)。对角矩阵 \(\mathbf D\) 给出 SWP 的本征能量 \(\epsilon_i^\alpha\)。

最终矩阵方程#

在 SWP 基中，AGS 方程变为有限维矩阵方程：
$$
\mathbf U = \mathbf A + \mathbf A\,\mathbf G(E)\,\mathbf U,
$$
其中：
- \(\mathbf U = \langle Z|\hat U|Z\rangle\)（待求矩阵）。
- \(\mathbf G(E) = \langle Z|\hat G_1(E)|Z\rangle\)，为对角矩阵，其对角元可写为 \(\displaystyle \frac{1}{E-\epsilon_i-E_j^q}\)（\(\epsilon_i\) 为 SWP 本征能，\(E_j^q\) 为旁观者能量）。
- \(\mathbf A = \langle Z|\hat P\hat v|Z\rangle\)，为在 SWP 基中的非对角核矩阵。

由于 \(\hat P\) 与 \(\hat v\) 通常在 FWP 基中构建（记为 \(\mathbf P_{FWP}\) 与 \(\mathbf V_{FWP}\)），\(\mathbf A\) 通过基变换得到：
$$
\mathbf A = \mathbf C^T \big(\mathbf P_{FWP}\,\mathbf V_{FWP}\big) \mathbf C,
$$
其中 \(\mathbf C\) 作用于 \(p\) 自由度，\(q\) 自由度保留单位阵。

复现要点与步骤清单#

  1. 理论层面

    • 采用 (Jj) 耦合方案定义 \(\alpha\)。
    • 截断角动量（示例：\(\mathcal J \le 17/2\), \(J \le 3\)）。

  2. 数值层面（FWP 基）

    • 选择 \(N_{WP}\)（例如从 50 起）。
    • 用切比雪夫公式生成 \(N_{WP}\) 个动量点，示例参数 \(\alpha=200\ \text{MeV}\)，\(t=1\)。
    • 构建 \(p\) 与 \(q\) 的 FWP 基，形成三体 FWP 基 \(|X_{ij}^\alpha\rangle\)。
    • 在该基上构建稀疏置换矩阵 \(\mathbf P\) 和块对角势能矩阵 \(\mathbf V\)。

  3. 数值层面（SWP 基）

    • 在每个 \(\alpha\) 通道的二体 FWP 基上构建 \(\mathbf H_{NN}\)。
    • 对 \(\mathbf H_{NN}\) 对角化，获得 \(\mathbf C\) 與本征能 \(\epsilon_i\)。
    • 存储并使用 \(\mathbf C\) 将算符从 FWP 基变换到 SWP 基。

  4. 方程求解

    • 构建 \(\mathbf A = \mathbf C^T(\mathbf P_{FWP}\mathbf V_{FWP})\mathbf C\)。
    • 构建对角 \(\mathbf G(E)\)（用 \(\epsilon_i\) 和旁观者能量）。
    • 求解线性系统 \(\mathbf U = \mathbf A + \mathbf A\mathbf G(E)\mathbf U\)（可用迭代方法并结合 Padé 近似以加速收敛）。

实现建议与注意事项#

  • 网格质量对结果至关重要，建议对 \(N_{WP}\) 与网格参数进行收敛测试。
  • 对每个角动量通道独立构建并对角化二体哈密顿量以获得 SWP，便于并行化。
  • 利用数值库（LAPACK/BLAS）处理对角化与线性代数，注意数值稳定性与内存管理。
  • 将 \(p\) 与 \(q\) 自由度的张量结构、对称性和稀疏性充分利用，以降低计算资源需求。
最后更新: 2025-11-05
创建日期: 2025-11-05