faddeev方程的Wave-packet continuum discretisation#

第一章为何两体散射理论在三体世界轰然倒塌#

本章是整个理论体系的基石和出发点。我们将以最详尽的步骤，重游您所熟悉的量子力学散射理论，然后进入三体世界，从数学和物理的两个层面，一层层地剖析为何这个在两体问题中如此成功的理论，在面对三个粒子时会遭遇不可逾越的障碍。深刻且直观地理解这个“失败”的根源，是领会法捷耶夫革命性贡献为何如此伟大的绝对前提。

1.1 两体散射理论回顾#

1.1.1 薛定谔方程与散射边界条件#

一切物理学的核心始于系统的哈密顿量 $H$ 和它所主宰的定态薛定谔方程：
$$
H |\psi\rangle = E |\psi\rangle
$$
在质心参考系中，一个两体系统的哈密顿量可以写为 $H = H_0 + V$ 。

自由哈密顿量 $H_0 = \dfrac{\vec{p}^2}{2\mu}$ ，其中 $\vec{p}$ 是两粒子间的相对动量， $\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$ 是约化质量。 $H_0$ 的本征态是动量为 $\hbar\vec{k}$ 的平面波 $|\vec{k}\rangle$ ，其能量为 $E_k = \dfrac{\hbar^2 k^2}{2\mu}$ 。
相互作用势 $V$ ，我们假设它是一个只依赖于相对坐标 $\vec{r}$ 的局域势 $V(\vec{r})$ ，并且是短程的，即当 $r \to \infty$ 时， $V(r)$ 比 $1/r$ 更快地趋于零。

对于散射问题，我们寻找的是能量 $E > 0$ 的连续谱解。这个解在物理上必须描述一个清晰的散射过程：一束粒子（平面波）入射，与散射中心相互作用后，以球面波的形式向四面八方散射开来。这个直观的物理图像，被精确地表述为波函数在坐标空间中的渐进行为（Asymptotic Behavior）：
$$
\psi_{\vec{k}}^+(\vec{r}) \xrightarrow{r \to \infty} e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} + f_{\vec{k}}(\hat{r}) \frac{e^{ikr}}{r}
$$
让我们仔细解读这个公式的每一部分：

$\psi_{\vec{k}}^+(\vec{r})$ ：代表一个具有特定边界条件的散射态。 $\vec{k}$ 是入射波的波向量，上标 + 是一个关键标记，代表我们选择的是出射（outgoing）球面波的边界条件。
$e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}$ ：描述入射的平面波。
$f_{\vec{k}}(\hat{r})$ ：散射振幅（Scattering Amplitude）。这是连接理论与实验的桥梁。它描述了从入射方向 $\vec{k}$ 散射到出射方向 $\hat{r} = \vec{r}/r$ 的概率幅。它的量纲是长度。
$\dfrac{e^{ikr}}{r}$ ：描述一个单位振幅的、以角频率 $\omega = E/\hbar$ 向外传播的球面波。分母上的 $r$ 保证了粒子流密度按 $1/r^2$ 衰减，符合粒子数守恒。

实验上测量的微分散射截面（Differential Cross Section），即单位立体角内散射的粒子数与入射粒子流强度的比值，就由散射振幅的模平方直接给出：
$$
\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f_{\vec{k}}(\hat{r})|^2
$$

1.1.2 Lippmann–Schwinger 方程：从微分到积分#

直接求解带有上述边界条件的薛定谔偏微分方程是可行的（例如通过分波法），但为了理论的普适性和后续推广，我们更倾向于将其转化为一个等价的积分方程。

从 $(E - H_0) |\psi\rangle = V |\psi\rangle$ 出发，我们可以形式上写出：
$$
|\psi\rangle = |\phi\rangle + \frac{1}{E - H_0} V |\psi\rangle
$$
其中 $|\phi\rangle$ 是齐次方程 $(E - H_0)|\phi\rangle = 0$ 的解，即入射平面波。这里的核心问题在于算符 $(E - H_0)^{-1}$ 的定义。当能量 $E$ 落在 $H_0$ 的连续谱上时，存在一个能量为 $E$ 的本征态，导致分母为零，使得这个逆算符是奇异的、未明确定义的。

为了解决这个奇点问题并正确地引入物理边界条件，我们采用所谓的 +iε 规则：
$$
|\psi_E^+\rangle = |\phi_E\rangle + \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{E - H_0 + i\epsilon} V |\psi_E^+\rangle
$$
这就是著名的 Lippmann–Schwinger (LS) 方程。

$G_0^+(E) = \lim_{\epsilon \to 0^+} (E - H_0 + i\epsilon)^{-1}$ 被称为出射波自由格林函数。这个小小的虚部 $+i\epsilon$ 蕴含着深刻的物理。在数学上，它将积分路径上的奇点（极点）推离了实轴，使得积分有明确的定义。在物理上，通过留数定理可以证明，这个规定恰好产生了我们所需要的向外传播的出射球面波。如果使用 $-i\epsilon$ ，则会得到向内汇聚的入射球面波，对应于另一种非物理的边界条件。

1.1.3 T-矩阵：一个更本质的算符#

LS 方程虽然优美，但它的未知数是依赖于具体入射条件的波函数 $|\psi^+\rangle$ 。我们希望能有一个更本质的、只依赖于系统哈密顿量而不依赖于具体入射态的算符。这个算符就是 T-矩阵（Transition Matrix）。

我们定义 T-矩阵 $T$ 满足：
$$
V |\psi^+\rangle \equiv T |\phi\rangle
$$
这个定义是说，T-矩阵作用在入射的自由态 $|\phi\rangle$ 上，其效果等同于完整的相互作用势 $V$ 作用在包含了所有散射效应的真实态 $|\psi^+\rangle$ 上。它将复杂的散射过程“打包”成了一个算符。

将此定义代入 LS 方程，我们得到波函数与 T-矩阵的关系：
$$
|\psi^+\rangle = |\phi\rangle + G_0^+ V |\psi^+\rangle = |\phi\rangle + G_0^+ T |\phi\rangle
$$
为了得到 T-矩阵自身的方程，我们将 $T|\phi\rangle = V|\psi^+\rangle$ 的两边替换入并整理，得到算符方程：
$$
T = V + V G_0^+ T
$$
这就是 T-矩阵的 Lippmann–Schwinger 方程。它是现代散射理论的基石。一旦通过求解这个方程得到了算符 $T(E)$ ，我们就可以计算任何初态 $|\phi_i\rangle$ 到末态 $|\phi_f\rangle$ 的散射振幅：
$$
f_{fi} = -\frac{(2\pi)^2 \mu}{\hbar^2} \langle \phi_f | T(E) | \phi_i \rangle
$$
对于两体问题，这个理论框架是完美自洽的。LS 方程是一个 Fredholm 第二类积分方程，其积分核 $K = G_0^+ V$ 是一个紧致算符（Compact Operator）。根据 Fredholm 理论，这意味着对于非齐次方程，其解是唯一的。这保证了我们的理论框架是稳固的。

1.2 走进三体迷宫：坐标与哈密顿量#

现在，我们带着在两体世界中获得的强大武器，自信地踏入三体世界。一个由三个粒子组成的系统，其哈密顿量为：
$$
H = \sum_{i=1}^3 \frac{\vec{p}i^2}{2m_i} + V(\vec{r}1 - \vec{r}_2) + V(\vec{r}2 - \vec{r}_3) + V(\vec{r}_3 - \vec{r}_1)
$$
这个系统有 9 个坐标自由度。总动量 $\vec{P} = \vec{p}_1+\vec{p}_2+\vec{p}_3$ 守恒，意味着质心的运动是平凡的匀速直线运动。为了分离出这 3 个无关的自由度，我们必须引入雅可比坐标（Jacobi Coordinates）。

这是一个至关重要的步骤，因为三体问题天然地存在三种不同的“组合”方式：(12)+3、(23)+1、(31)+2。每一种组合方式都对应一套最适合描述它的雅可比坐标。

第一套雅可比坐标（标记为 "3"）： 适合描述粒子 1 和 2 构成子系统，粒子 3 是“旁观者”。
$$
\begin{align*}
\vec{\rho}_3 &= \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \quad &(\text{子系统(12)的内部相对坐标}) \
\vec{\lambda}_3 &= \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2} - \vec{r}_3 \quad &(\text{粒子3相对于子系统(12)质心的相对坐标}) \
\vec{R} &= \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{M} \quad &(\text{总质心坐标}, M=m_1+m_2+m_3)
\end{align*}
$$

在质心系中（ $\vec{R}=0, \vec{P}=0$ ），自由哈密顿量 $H_0 = \sum \dfrac{\vec{p}_i^2}{2m_i}$ 被完美地分离为两个独立的动能项：
$$
H_0 = \frac{\vec{p}{\rho_3}^2}{2\mu} + \frac{\vec{p}_{\lambda_3}^2}{2\nu_3}
$$
其中 $\mu_{12} = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ 和 $\nu_3 = \dfrac{(m_1+m_2)m_3}{M}$ 是对应的约化质量。这种分离是精确的，没有任何交叉项。

同理，我们可以定义另外两套雅可比坐标：
第二套（标记为 "1"）： $\vec{\rho}_1 = \vec{r}_2 - \vec{r}_3$ , $\vec{\lambda}_1 = \dfrac{m_2\vec{r}_2+m_3\vec{r}_3}{m_2+m_3} - \vec{r}_1$ 。适合描述 (23)+1 子系统。
第三套（标记为 "2"）： $\vec{\rho}_2 = \vec{r}_3 - \vec{r}_1$ , $\vec{\lambda}_2 = \dfrac{m_3\vec{r}_3+m_1\vec{r}_1}{m_3+m_1} - \vec{r}_2$ 。适合描述 (31)+2 子系统。

这三套坐标系只是对同一个物理系统的不同描述，它们之间可以通过线性变换相互转换。理解这一点对于后续理解置换算符至关重要。

1.3 致命缺陷：三体 Lippmann–Schwinger 方程的病态本质#

现在，我们形式上写出三体系统的 LS 方程：
$$
|\Psi^+\rangle = |\Phi_\alpha\rangle + G_0^+(E) (V_{12} + V_{23} + V_{31}) |\Psi^+\rangle
$$
$|\Phi_\alpha\rangle$ 是入射态， $\alpha$ 标记了入射通道。以中子—氘核散射为例，入射通道是 (23)+1，入射态是粒子 1（中子）以动量 $\vec{q}$ 运动，粒子 2 和 3（氘核内的质子和中子）处于束缚态 $\phi_d$ 。在雅可比坐标系 "1" 中，这个态可以写作：
$$
|\Phi_1\rangle = |\phi_d(\vec{\rho}_1)\rangle \otimes |\vec{q}(\vec{\lambda}_1)\rangle
$$
它的能量是 $E = -\epsilon_d + \dfrac{q^2}{2\nu_1}$ ，其中 $\epsilon_d$ 是氘核的结合能。

病灶在何处？

让我们对 LS 方程进行迭代展开（Born 级数），并仔细审视其中的一项：
$$
|\Psi^+\rangle = |\Phi_1\rangle + G_0^+V|\Phi_1\rangle + G_0^+VG_0+V|\Phi_1\rangle + \dots
$$
考虑二阶项中的一个特定过程： $G_0^+ V_{23} G_0^+ V_{23} |\Phi_1\rangle$ 。

初态 $|\Phi_1\rangle$ ：粒子 2 和 3 被束缚成氘核，粒子 1 自由飞行。
第一次作用 $V_{23}$ ：势 $V_{23}$ 只依赖于 $\vec{\rho}_1$ ，它只作用于子系统 (23)。它可以使氘核保持束缚，也可以使其激发或破裂，但它**完全不影响**粒子 1 的运动状态。
第一次传播 $G_0^+$ ：格林函数 $G_0^+(E) = (E - H_{0,23} - H_{0,1} + i\epsilon)^{-1}$ 作用。 $G_0^+(E) = \frac{1}{E - H_0 + i\epsilon}$ 。在动量表象中，它是一个乘法算符： $\frac{1}{E - \frac{p_{\rho_1}^2}{2\mu_{23}} - \frac{p_{\lambda_1}^2}{2\nu_1} + i\epsilon}$ 。
第二次作用 $V_{23}$ ：势 $V_{23}$ 再次作用于子系统 (23)。

在整个 $G_0^+ V_{23} G_0^+ V_{23} \dots$ 的链条中，粒子 1 始终是“旁观者”。这个过程描述的是子系统 (23) 自身的散射，而粒子 1 则完全没有参与，像一个幽灵一样从旁边飞过。

让我们在动量表象中看得更清楚。 $V_{23}$ 作用在 $|\Phi_1\rangle$ 上，会将其分解到 (23) 对的各种激发态上，但粒子1的动量 $\vec{q}$ 保持不变。
$$
V_{23}|\Phi_1\rangle = \int d\vec{k}' |\vec{k}'(\vec{\rho}1)\rangle \otimes |\vec{q}(\vec{\lambda}_1)\rangle \langle \vec{k}'|V|\phi_d\rangle
$$
当 $G_0^+$ 作用于此态时，它变成：
$$
\int d\vec{k}' \frac{1}{E - \frac{k'^2}{2\mu_{23}} - \frac{q^2}{2\nu_1} + i\epsilon} |\vec{k}'(\vec{\rho}1)\rangle \otimes |\vec{q}(\vec{\lambda}_1)\rangle \langle \vec{k}'|V|\phi_d\rangle
$$
注意到 $E = -\epsilon_d + \frac{q^2}{2\nu_1}$ ，分母变为 $-\epsilon_d - \frac{k'^2}{2\mu_{23}} + i\epsilon$ 。这没有问题。

但当 $V_{23}$ 再次作用，然后 $G_0^+$ 再次作用时，我们实际上是在计算一个描述 (23) 对自身散射的T-矩阵的过程。整个过程中，粒子1的动量 $\vec{q}$ 像一个幽灵一样，始终没有改变。

在数学上，这意味着在整个积分链条中，始终存在一个未被积分的动量守恒 $\delta(\vec{q} - \vec{q}')$ 。这个 $\delta$ 函数来自于算符 $V_{23}$ 和 $H_0$ 对粒子1的“不作为”。它使得积分核 $K = G_0^+V$ 不是紧致算符。

$V_{23}$ 再换一种写法：
$$
\langle \vec{p}', \vec{q}' | V_{23} | \vec{p}, \vec{q} \rangle = \delta(\vec{q}' - \vec{q}) \cdot V_{23}(\vec{p}', \vec{p})
$$
看到了吗？它包含一个狄拉克 $\delta$ 函数 $\delta(\vec{q}' - \vec{q})$ ！这个 $\delta$ 函数精确地表述了“旁观者动量守恒”。

现在考察积分核 $K = G_0^+ V = G_0^+ (V_{12}+V_{23}+V_{31})$ 。其中的 $G_0^+ V_{23}$ 项就包含了上述的 $\delta$ 函数。当我们在 LS 积分方程中进行积分时，例如 $\int d^3q \dots \delta(\vec{q}' - \vec{q}) \dots$ ，这个 $\delta$ 函数不会被消除！它会一直存在于方程的迭代级数中。

一个包含 $\delta$ 函数的积分核，在数学上被称为非紧致（Non-Compact）。
直观理解：紧致算符有“平滑”作用，能把粗糙的函数变得平滑。而非紧致算符没有这种性质，它会保留甚至制造奇点。
数学后果：Fredholm 积分方程理论的核心定理之一，就是只有当积分核是紧致时，方程解的唯一性才能得到保证。对于我们这里的非紧致核，Fredholm 理论不适用，方程的解**不唯一**。

什么是紧致算符？
一个直观的理解是，紧致算符能把有界集合映射到紧集（一个更“小”的集合），它具有“平滑”效应。在积分方程中，紧致的积分核能保证解的良定性。非紧致的核，就像我们这里遇到的，包含无法消除的 $\delta$ 函数奇点，它破坏了解的唯一性。

三体LS方程失败了，因为它无法区分两种截然不同的物理过程：

连通的 (Connected) 过程： 所有三个粒子都紧密地参与相互作用，例如粒子1撞击氘核，氘核破裂，然后三个粒子重新组合。这是我们真正关心的复杂散射。
非连通的 (Disconnected) 过程： 一个子系统在内部演化，而第三个粒子作为旁观者自由飞行。例如，氘核内部的质子和中子相互作用，而入射的中子在远处飞过，从未靠近。

LS方程将这两种过程混为一谈，其数学结构因此而崩溃。我们需要一个全新的、能够从一开始就将这两种过程分离开来的方程。这就是法捷耶夫方程即将要完成的使命。

法捷耶夫-三体#

在第一章中，我们陷入了理论的泥潭：直接推广的 Lippmann–Schwinger (LS) 方程在三体问题中是病态的，其解不唯一。其病灶在于积分核中包含了描述“非连通”散射过程的项，导致了数学上的非紧致性。本章我们将详细学习 L. D. Faddeev 在 1960 年提出的革命性方案。法捷耶夫的天才之处在于，他没有试图去“修补”LS方程，而是对问题本身进行了根本性的重构（rearrangement），将一个病态的方程等价地转化为一组性质优良的耦合方程组。

2.1 核心思想：对散射过程的分解#

法捷耶夫的出发点是，LS 方程 $T = V + V G_0 T$ 之所以失败，是因为总相互作用势 $V = V_1 + V_2 + V_3$ （我们沿用上一章的约定， $V_k$ 是粒子 $k$ 不参与的那对粒子间的势）被当作一个整体来处理，无法区分出真正“连通”的三体相互作用。

他的核心思想是，将总的散射算符 $T$ 分解为三个部分，每一部分对应于某一对粒子进行的“最后一次”相互作用。

2.1.1 T-矩阵的分解#

我们定义三个法捷耶夫 T-矩阵分量 $T^{(i)}$ （ $i=1,2,3$ ）：
$$
T^{(i)} \equiv V_i + V_i G_0 T
$$
这个定义的物理含义是： $T^{(i)}$ 描述了所有以 $V_i$ 相互作用为“结尾”的散射过程的总和。第一项 $V_i$ 是最简单的过程（一次 Born 近似），第二项 $V_i G_0 T$ 描述了系统先经历了完整的、复杂的散射过程 $T$ ，然后自由传播 $G_0$ ，最后以一次 $V_i$ 相互作用结束。

这一定义是自洽的吗？把三个分量相加：
$$
\sum_{i=1}^3 T^{(i)} = \sum_{i=1}^3 (V_i + V_i G_0 T) = \left(\sum_{i=1}^3 V_i\right) + \left(\sum_{i=1}^3 V_i\right) G_0 T.
$$
因为 $\sum_i V_i = V$ ，上式变为
$$
\sum_{i=1}^3 T^{(i)} = V + V G_0 T,
$$
根据 T-矩阵的 LS 方程，右边正好就是总的 T 矩阵 $T$ 。所以，我们得到了一个精确的、不含任何近似的分解关系：
$$
T = T^{(1)} + T^{(2)} + T^{(3)}.
$$
到目前为止，我们只是用三个新的未知数 $T^{(i)}$ 替换了原来的一个未知数 $T$ 。真正的突破在于，这三个新的未知数所满足的方程，其性质将发生根本性的改变。

2.1.2 波函数的分解#

同样的思想也可以应用在波函数上。总的散射波函数 $|\Psi\rangle$ 可以分解为：
$$
|\Psi\rangle = |\Phi\rangle + |\Psi^{(1)}\rangle + |\Psi^{(2)}\rangle + |\Psi^{(3)}\rangle,
$$
其中 $|\Phi\rangle$ 是入射平面波，而法捷耶夫波函数分量定义为
$$
|\Psi^{(i)}\rangle \equiv G_0 V_i |\Psi\rangle.
$$
这个定义同样诠释了“以 $V_i$ 为末次作用”的思想。虽然波函数分解在物理上非常直观，但在实际数值计算中，处理 T-矩阵分量通常更为方便和直接。因此，本讲义将聚焦于 T-矩阵的推导。

2.2 法捷耶夫方程的推导#

现在，我们为 $T^{(i)}$ 建立自洽方程组，这是整个理论的核心推导。

出发点：从 $T^{(1)}$ 的定义开始：
$$
T^{(1)} = V_1 + V_1 G_0 T.
$$
代入分解式：将 $T = T^{(1)} + T^{(2)} + T^{(3)}$ 代入上式：
$$
T^{(1)} = V_1 + V_1 G_0 (T^{(1)} + T^{(2)} + T^{(3)}).
$$
分离变量：将包含未知数 $T^{(1)}$ 的项移到左边：
$$
T^{(1)} - V_1 G_0 T^{(1)} = V_1 + V_1 G_0 (T^{(2)} + T^{(3)}),
$$
即
$$
(I - V_1 G_0) T^{(1)} = V_1 + V_1 G_0 (T^{(2)} + T^{(3)}).
$$
这里的 $I$ 是单位算符。
关键一步：引入两体 t-矩阵。两体散射理论中的两体 t-矩阵 $t_1$ 满足
$$
t_1 = V_1 + V_1 G_0 t_1,
$$
即 $(I - V_1 G_0) t_1 = V_1$ 。若算符 $(I - V_1 G_0)$ 可逆（对非束缚态能量通常成立），则
$$
t_1 = (I - V_1 G_0)^{-1} V_1.
$$
两体 t-矩阵 $t_1$ “打包”了所有由势 $V_1$ 产生的两体散射效应，是三体问题中的已知构件。
完成推导：对上述方程左右同乘以 $(I - V_1 G_0)^{-1}$ ：
$$
T^{(1)} = (I - V_1 G_0)^{-1}\big[ V_1 + V_1 G_0 (T^{(2)} + T^{(3)}) \big].
$$
分配并用 $t_1 = (I - V_1 G_0)^{-1} V_1$ 得到
$$
T^{(1)} = t_1 + t_1 G_0 (T^{(2)} + T^{(3)}).
$$
对 $T^{(2)}$ 和 $T^{(3)}$ 进行相同操作，最终得到对称的耦合方程组，即法捷耶夫方程（在 T-矩阵形式下常称为 AGS 方程，以 Alt, Grassberger, Sandhas 命名）：
$$
\begin{cases}
T^{(1)} = t_1 + t_1 G_0 (T^{(2)} + T^{(3)})\[4pt]
T^{(2)} = t_2 + t_2 G_0 (T^{(3)} + T^{(1)})\[4pt]
T^{(3)} = t_3 + t_3 G_0 (T^{(1)} + T^{(2)})
\end{cases}
$$

2.3 方程的结构与数学上的治愈#

2.3.1 矩阵形式与方程核#

这组方程可视作一个 3×3 的算符矩阵方程。令列向量 $\mathbf{X}=[T^{(1)},T^{(2)},T^{(3)}]^T$ 和驱动向量 $\mathbf{Y}=[t_1,t_2,t_3]^T$ ，AGS 方程可写为
$$
\mathbf{X} = \mathbf{Y} + \mathbf{K}\mathbf{X},
$$
其中核算符矩阵 $\mathbf{K}$ 为
$$
\mathbf{K} = \begin{pmatrix}
0 & t_1 G_0 & t_1 G_0\[4pt]
t_2 G_0 & 0 & t_2 G_0\[4pt]
t_3 G_0 & t_3 G_0 & 0
\end{pmatrix}.
$$
请注意 $\mathbf{K}$ 的结构：对角线元素严格为零。这在代数上禁止了形如 $t_i G_0 T^{(i)}$ 的项出现——物理上意味着以 $V_i$ 结尾的散射过程，其“前一步”不可能又以 $V_i$ 结尾。相互作用必须在不同粒子对之间传递，从根本上消除了导致 LS 方程病态的“非连通图”。

2.3.2 数学治愈：紧致核的魔力#

AGS 方程 $\mathbf{X}=\mathbf{Y}+\mathbf{K}\mathbf{X}$ 仍是 Fredholm 第二类积分方程，其性质由核 $\mathbf{K}$ 决定。虽然 $\mathbf{K}$ 本身不一定是紧致的（因含有奇异的 $G_0$ ），但考察其二次迭代核 $\mathbf{K}^2$ ：
$$
\mathbf{K}^2 = \mathbf{K}\mathbf{K}.
$$
例如，
$$
(\mathbf{K}^2){11} = (KK_{21}) + (K_{13}K_{31}) = (t_1 G_0)(t_2 G_0) + (t_1 G_0)(t_3 G_0),
$$
以及
$$
(\mathbf{K}^2){12} = (KK_{22}) + (K_{13}K_{32}) = (t_1 G_0)(0) + (t_1 G_0)(t_3 G_0) = t_1 G_0 t_3 G_0.
$$
我们发现 $\mathbf{K}^2$ 的所有矩阵元都是形如 $t_i G_0 t_j$ （ $i\ne j$ ）的算符线性组合。

中心定理：对于常见的相互作用势，虽然 $G_0$ 本身是奇异的，但当两个不同子系统的 t-矩阵夹在中间时，诸如 $t_i G_0 t_j$ （ $i\ne j$ ）的乘积是紧致算符。直观上， $t_j$ 对中间动量积分，再被另一个不同的 $t_i$ 平滑处理，使得 $G_0$ 的奇点被“平滑掉”。

因此 $\mathbf{K}^2$ 是紧致算符。根据 Fredholm 理论：

要么对于任意驱动项 $\mathbf{Y}$ ，方程存在唯一且良定义的解 $\mathbf{X}=(\mathbf{I}-\mathbf{K})^{-1}\mathbf{Y}$ ；
要么齐次方程 $\mathbf{X}=\mathbf{K}\mathbf{X}$ 存在非零解，这对应于系统在某些负能量下存在三体束缚态（物理上合理且有意义）。

结论：法捷耶夫通过将病态的 LS 方程等价重构为耦合的 AGS 方程，得到了一个其二次迭代核为紧致的方程组。从数学上根治了非连通图导致的问题，保证了三体散射问题解的唯一性与稳定性，为后续数值计算提供了坚实的理论基础。

第三章离散化#

在第二章，我们得到了数学上完美、结构优美的 AGS 方程。然而，它依旧是“由连续函数空间中的算符构成。我们需要选取jishi来做计算: 分波展开和基矢离散化——将一个无穷维的、三维矢量问题，一步步地塑造成一个有限维的、一维的、计算机可以求解的矩阵问题。

3.1 分波展开 (Partial Wave Expansion)#

三体问题中的动量是三维矢量，直接在三维动量空间中求解 AGS 方程，其计算量是天文数字。幸运的是，物理系统往往具有对称性，而对称性是简化的根源。对于绝大多数核物理问题，相互作用势是中心对称的（不依赖于坐标系的方向），这意味着系统的总角动量 $\vec{J}$ 和总宇称 $\Pi$ 是守恒量。

核心思想：哈密顿量 $H$ 与算符 $\hat{J}^2,\ \hat{J}_z,\ \hat{\Pi}$ 对易。根据量子力学基本原理（舒尔引理），这意味着在以 $\{\,|...,J,M,\Pi\rangle\,\}$ 为基矢的表象中，哈密顿量矩阵是块对角化的。也就是说，不同 $J$ 或不同 $\Pi$ 的态之间不存在跃迁：
$$
\langle ...,J',M',\Pi'|H|...,J,M,\Pi\rangle
= \delta_{J'J}\,\delta_{M'M}\,\delta_{\Pi'\Pi}\cdot H^{(J,\Pi)}_{...}.
$$
这允许我们将一个庞大的、耦合所有自由度的问题，分解为一系列互不相关的、在每个固定 $(J,\Pi)$ 通道内求解的、规模小得多的子问题。分别求解每个子问题，最后将它们的物理结果（例如散射振幅）相干地叠加起来，得到最终的物理可观测量。

3.1.1 两体系统的角动量耦合#

两体态由相对动量 $\vec{p}$ 和总自旋 $\vec{s}=\vec{s}_1+\vec{s}_2$ 描述。平面波态 $|\vec{p}\rangle$ 可以展开在分波基矢 $|p,l,m_l\rangle$ 上。考虑自旋后，一个更完备的基矢是 $|p;(l,s)j,m_j\rangle$ ，其中：

$p$ 是相对动量的大小；
$l$ 是轨道角动量量子数；
$s$ 是两粒子的总自旋量子数（例如 n–p 系统，可为 $s=0$ 单重态或 $s=1$ 三重态）；
$\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$ 是该子系统的总角动量（通道角动量）；
$m_j$ 是 $j$ 的磁量子数。

由于 $j$ 和 $m_j$ 在两体散射中守恒，势能矩阵元 $\langle p',l',s'|V|p,l,s\rangle$ 只有在 $j,m_j,s$ 相同时才非零。但请注意，轨道角动量 $l$ 不一定守恒。核力中一个非常重要的组成部分——张量力（tensor force），其算符形如
$$
S_{12}=3(\vec{\sigma}_1\cdot\hat{r})(\vec{\sigma}_2\cdot\hat{r})-\vec{\sigma}_1\cdot\vec{\sigma}_2,
$$
它不与 $\hat{L}^2$ 对易，导致耦合通道（coupled channels）现象。

经典例子是氘核。其总角动量 $j=1$ ，总自旋 $s=1$ ，宇称为正。满足这些条件的轨道角动量可为 $l=0$ （S 波）和 $l=2$ （D 波）。张量力使氘核波函数是两者的混合：主要为 $^3S_1$ 态，但混入约 4% 的 $^3D_1$ 态。因此，在 $^3S_1$ – $^3D_1$ 耦合通道中，势能 $V$ 和 t 矩阵都是 $2\times2$ 的矩阵，其元素连接 S 波与 D 波。

3.1.2 三体系统的角动量耦合#

三体系统的角动量耦合更为复杂，但遵循相同原则。以 n–d 散射为例，需要耦合三个角动量来源： (np) 子系统的内部轨道角动量 $l_p$ 、旁观中子相对于 (np) 质心的轨道角动量 $l_q$ ，以及三粒子的总自旋。一种常用耦合方式（LS 耦合）如下：

子系统内部耦合： $\vec{l}_p+\vec{S}_{np}=\vec{j}_{np}$ ，其中 $\vec{S}_{np}=\vec{s}_n+\vec{s}_p$ ；
旁观者耦合： $\vec{l}_q+\vec{s}_{\text{spectator}}=\vec{j}_{\text{spectator}}$ ；
最终耦合： $\vec{j}_{np}+\vec{j}_{\text{spectator}}=\vec{J}$ 。

最终的三体分波基矢可记为
$$
|p,q;\,((l_p,S_{np})j_{np},(l_q,s_{\text{spectator}})j_{\text{spectator}})\,J,M\rangle.
$$
在实际计算中通常用复合指标 $\alpha$ 表示除 $p,q$ 与 $J,M$ 之外的所有内部量子数组合。

分波展开的最终成果是：原本关于三维矢量动量 $\vec{p},\vec{q}$ 的 AGS 方程，被转化为一系列关于一维标量动量 $p,q$ 的耦合积分方程。每个方程对应一个固定的总角动量 $J$ 与总宇称 $\Pi$ 的通道。问题的维数从六维（ $\vec{p},\vec{q}$ ）降低到了二维（ $p,q$ ）。

3.2 动量空间基矢离散化#

现在我们面对的是关于标量动量 $p,q$ 的积分方程。这仍是连续的、无穷维的。下一步是将这一维的连续自由度，用有限的、离散的基矢来近似。

3.2.1 动量空间的归一化与基矢#

在分波展开后，径向积分的测度为 $p^2\,dp$ （三维动量测度 $d^3p=p^2dp\,d\Omega_p$ 对角度部分积分后得到）。因此径向基函数的正交归一条件必须包含该雅可比因子：
$$
\int_0^\infty p^2\,dp\; g_m(p)\,g_n(p)=\delta_{mn}.
$$
这确保 $\{|g_n\rangle\}$ 是一组标准正交基。在实际操作中，积分上限并非无穷，而是一个经过选择的截断动量 $p_{\max}$ 。

3.2.2 区间选取与 $p_{\max}$ 的确定#

如何选择动量区间上限 $p_{\max}$ ？这是影响精度与效率的关键实践问题。

物理需求： $p_{\max}$ 必须足够大，以包含波函数的重要特征。对于束缚态（如氘核），动量空间的高动量尾巴必须被覆盖，否则结合能等将不准确。对于散射态，较高散射能会在高动量区产生更多振荡，需更大 $p_{\max}$ 。
经验法则： $p_{\max}$ 的选取通常与核力的“硬度”有关。对经过重整化群得到的“软”势，动量空间矩阵元在高动量下迅速衰减，通常 $p_{\max}\sim3$ – $5\ \text{fm}^{-1}$ （约 600–1000 MeV/c）就足够；对“硬”势可能需更大值。
收敛性检验：最可靠的方法是做收敛性检验。选一个 $p_{\max}$ 计算（例如氘核结合能）得 $E_1$ ，再增大到 $p_{\max}+\Delta p$ 得 $E_2$ ，比较 $|E_1-E_2|$ 。若小于容忍阈值（例如 $10^{-4}$ MeV），则认为 $p_{\max}$ 足够；否则继续增大直至收敛。对基矢数目 $N$ 同样需要做收敛性检验。

3.2.3 WP‑CD 基矢的高效构造#

如 Sean Miller 等人所示，可以通过求解广义特征值问题，高效构造一组既正交又“物理优化”的基矢：

选择一组简单的、可完备的非正交种子基函数，例如 B‑样条或广义高斯基 $\{|\phi_i(p)\rangle\}$ ；
计算哈密顿量矩阵 $\mathbf{H}_{ij}=\langle\phi_i|H_0+V|\phi_j\rangle$ 和重叠矩阵 $\mathbf{B}_{ij}=\langle\phi_i|\phi_j\rangle$ ；
求解广义特征值问题 $\mathbf{H}\,\mathbf{c}=E\,\mathbf{B}\,\mathbf{c}$ （可用 LAPACK 等库）；
用本征向量构造新的基矢 $|\psi_n\rangle=\sum_i c_{n,i}|\phi_i\rangle$ 。这些 $|\psi_n\rangle$ 具有良好性质：严格正交 $\langle\psi_m|\psi_n\rangle=\delta_{mn}$ ，并且是哈密顿量 $H$ 的本征态或良好近似。能量为负的本征态对应束缚态，而能量为正的一系列本征态则构成离散化的连续谱基矢，即 WP‑CD 基矢。

3.3 总结#

通过本章介绍的两把“利斧”，我们将抽象、无穷维、三维矢量自由度的 AGS 方程，转化为一系列（每个 $(J,\Pi)$ 通道一个）具体的、有限维的、关于一维标量自由度的矩阵方程。

分波展开利用旋转对称性，将问题分解为独立的角动量通道，把矢量问题变为径向问题；
基矢离散化利用伽辽金类方法，通过选择一组巧妙的（例如 WP‑CD）平方可积基矢，将径向连续自由度近似为有限维矩阵表示。

我们已完成零件加工与图纸设计。下一章进入“总装配车间”，把这些矩阵零件组装成最终的三体矩阵，并讨论如何启动并求解这台复杂的机器。

第四章构建与求解分波AGS方程#

在第三章，我们已经将理论各部分打磨好：在特定分波通道下、在离散基矢上表示的两体t-矩阵。本章的使命，是将这些部分精确地组装起来，构建出最终的、可以在计算机上求解的巨型AGS矩阵方程。我们将严格在一个固定的总角动量 $(J, \Pi)$ 通道内进行所有讨论，因为我们知道，不同 $(J, \Pi)$ 的块之间是完全解耦的。

4.1 方程的组成部件：X, Y, K#

我们的目标是求解线性代数方程：
$$
(\mathbf{I} - \mathbf{K}) \mathbf{X} = \mathbf{Y}
$$
在进行任何计算之前，我们必须精确地理解这三个巨型矩阵/向量的结构和内容。

4.1.1 未知解向量 X#

向量 $\mathbf{X}$ 是我们要求解的目标。它是一个“向量的向量”，其结构如下：
$$
\mathbf{X} = \begin{pmatrix} \mathbf{X}^{(1)} \ \mathbf{X}^{(2)} \ \mathbf{X}^{(3)} \end{pmatrix}
$$

它由三个块组成，分别对应三个法捷耶夫分量 $T^{(1)}, T^{(2)}, T^{(3)}$ 。
每一个块，例如 $\mathbf{X}^{(1)}$ ，本身又是一个长长的列向量。它的每一个元素，都对应着 $T^{(1)}$ 在我们三体分波基矢 $|1; \alpha, m, j\rangle$ 下的一个展开系数。

$(\mathbf{X}^{(1)})_{\alpha, m, j} = \langle 1; \alpha, m, j | T^{(1)} | \text{Initial State} \rangle$

这里的复合索引 $(\alpha, m, j)$ 遍历了所有可能的内部角动量通道、子系统径向基矢和旁观者动量基矢。解出向量 $\mathbf{X}$ ，就意味着我们知道了三体T-矩阵的所有信息。

4.1.2 驱动项 Y#

向量 $\mathbf{Y}$ 代表了散射的“初始条件”或“第一推动力”。在AGS方程中，它对应于两体t-矩阵项。对于 n-d 散射，入射态是一个中子 + 一个氘核。

物理图像：在散射发生前，系统处于雅可比坐标系 $k=1$ （假设粒子1是入射中子）所描述的通道中。在这个通道里，子系统(23)的状态是氘核束缚态，而粒子1则以一个确定的入射动量 $q_{in}$ 运动。
数学表示：这意味着，在我们的巨大基矢空间中，驱动项 $\mathbf{Y}$ 是一个非常“稀疏”的向量。它只在那些描述入射物理图像的特定分量上才非零。具体来说：
- 只有在法捷耶夫分量 $k=1$ 的块 $\mathbf{Y}^{(1)}$ 中有非零项。
- 在 $\mathbf{Y}^{(1)}$ 内部，只有在内部角动量通道 $\alpha$ 对应于氘核（例如 ³S₁-³D₁ 通道）的子块中，才有非零项。
- 在更深的子块中，只有在旁观者动量 $q_j$ 对应于入射动量 $q_{in}$ 的分量上，才有非零项。

因此，构建驱动项 $\mathbf{Y}$ 的过程，就是将物理的入射条件“翻译”为数学上的向量表示。

4.1.3 核矩阵 K#

核矩阵 $\mathbf{K}$ 是这台机器最复杂、最核心的引擎。它是一个 $3 \times 3$ 的块矩阵，其中每个块 $\mathbf{K}_{ik}$ 本身又是一个维度为 $(N_\alpha N_p N_q) \times (N_\alpha N_p N_q)$ 的巨型矩阵。
$$
\mathbf{K} = \begin{pmatrix}
0 & \mathbf{K}{12} & \mathbf{K} \
\mathbf{K}{21} & 0 & \mathbf{K} \
\mathbf{K}{31} & \mathbf{K} & 0
\end{pmatrix}
\quad \text{其中 } \mathbf{K}{ik} \text{ 对应于算符 } t_i G_0 P
$$
构建 $\mathbf{K}$ 的过程，就是计算其每一个矩阵元
$$
\langle i; \alpha', m', j' | t_i G_0 P_{ki} | k; \alpha, m, j \rangle.
$$
这是整个计算中 CPU 耗时最长的部分。

4.2 置换算符与角动量重耦合#

现在，我们来深入分析计算一个核矩阵元 $\langle \text{final} | t_i G_0 P_{ki} | \text{initial} \rangle$ 的详细步骤。这就像一个三步的流水线作业。

第一步：置换算符 $P_{ki}$ （最难的一步）

置换算符 $P_{ki}$ 交换粒子 $k$ 和 $i$ 。在分波表象下，它做两件纠缠在一起的复杂事情：

动量变换（几何部分）：它将用雅可比动量 $(\vec{p}_k, \vec{q}_k)$ 描述的态，变为用 $(\vec{p}_i, \vec{q}_i)$ 描述的态。新旧动量的大小和它们之间的夹角，都可以通过粒子质量和旧动量计算出来。这是一个纯粹的坐标变换。
角动量重耦合（代数部分）：一个在 $k$ -系下耦合的角动量态（例如 $((l_k, S_k)j_k, l_{q_k})J$ ），必须被重新展开为 $i$ -系下所有可能的角动量态（例如 $((l_i, S_i)j_i, l_{q_i})J$ ）的线性叠加。

最终， $P_{ki}$ 的矩阵元可以分解为一个几何积分和一个代数因子的乘积：
$$
\langle i; \alpha', m' | P_{ki} | k; \alpha, m \rangle = \text{GeometricFactor} \times \text{RecouplingCoefficient}
$$

几何因子：这是一个涉及到动量变换和基函数 $g_n(p)$ 的积分。它本质上是计算一个变换后的基函数在另一个基函数上的投影。
重耦合系数 (Recoupling Coefficient)：这部分是纯粹的角动量代数，与径向动量无关。它包含了所有从一套角动量耦合方案到另一套方案的变换信息。对于三体系统，这个系数可以被精确地表示为 Wigner 6-j 和 9-j 符号的乘积。

实践中的核心 (The Trick):

在编写代码时，置换算符的矩阵是一个巨大的、需要预先计算或在循环中动态计算的表格。其核心是一个调用标准库（例如一个专门的角动量计算库）来获得精确的 6-j 和 9-j 符号的子程序，以及一个执行复杂几何积分的数值积分程序。正确、高效地实现置换算符是三体分波计算中最高、最陡峭的一座山峰。

第二步：自由格林函数 $G_0$

置换完成后，我们得到了一系列在 $i$ -系下的基矢。现在轮到 $G_0$ 登场。在三体分波基矢下， $G_0$ 是对角的。它的作用非常简单，就是给每个基矢 $|i; \alpha', m', j'\rangle$ 乘上一个数字因子：
$$
G_0 |i; \alpha', m', j'\rangle = \frac{1}{E - E_{m'} - E_{j'} + i\epsilon} \; |i; \alpha', m', j'\rangle
$$
其中 $E_{m'}$ 是子系统基矢 $m'$ 的能量， $E_{j'}$ 是旁观者基矢 $j'$ 的能量。

第三步：两体 t-矩阵 $t_i$

最后，轮到我们预先计算好的“零件”——两体 t-矩阵 $t_i$ 上场。它也只在 $i$ -系下作用，并且只作用于子系统的自由度（即 $\alpha'$ 和 $m'$ ）。它的矩阵元
$$
\langle i; \alpha'', m'' | t_i | i; \alpha', m' \rangle
$$
就是我们在第三章中费尽心力计算出的两体 t-矩阵 $\mathbf{t}^{(j,s)}_{l'' l'}(E_{sub})$ 。注意，这里的能量 $E_{sub}$ 是子系统的能量，它依赖于总能量 $E$ 和旁观者能量 $E_{j'}$ 。

总结：

一个完整的核矩阵元，是以上三步流水线作业的最终产物。它是一个对所有可能的中间态求和的过程：
$$
K_{final, initial} = \sum_{\text{intermediate states}} \langle \text{final} | t_i | \text{intermediate}\rangle \cdot (\text{Propagator Factor}) \cdot \langle \text{intermediate} | P_{ki} | \text{initial}\rangle
$$

4.3 最终矩阵的结构与求解#

经过上述复杂的构建过程，我们得到了一个巨大的、但结构清晰的线性方程组 $(\mathbf{I} - \mathbf{K}) \mathbf{X} = \mathbf{Y}$ 。下面是这个矩阵的结构示意图：

+----------------------------------------------------------------------------------+
| (I - K) Matrix for a fixed (J, Pi) channel                                       | 
+==================================================================================+
| BLOCK (i=1, k=1) = I           | BLOCK (i=1, k=2) = -K_12         | BLOCK (i=1, k=3) = -K_13         |
| (dim: D x D, contains many     | (dim: D x D, couples all         | (dim: D x D, couples all         |
|  sub-blocks for angular        |  channels)                       |  channels)                       |
|  momentum channels)            |                                  |                                  |
+--------------------------------+----------------------------------+--------------------------------+
| BLOCK (i=2, k=1) = -K_21       | BLOCK (i=2, k=2) = I             | BLOCK (i=2, k=3) = -K_23        |
| (dim: D x D, couples all       | (dim: D x D, contains many       | (dim: D x D, couples all         |
|  channels)                     |  sub-blocks for angular          |  channels)                       |
|                                |  momentum channels)              |                                  |
+--------------------------------+----------------------------------+--------------------------------+
| BLOCK (i=3, k=1) = -K_31       | BLOCK (i=3, k=2) = -K_32         | BLOCK (i=3, k=3) = I            |
| (dim: D x D, couples all       | (dim: D x D, couples all         | (dim: D x D, contains many       |
|  channels)                     |  channels)                       |  sub-blocks for angular          |
|                                |                                  |  momentum channels)              |
+--------------------------------+----------------------------------+--------------------------------+
(where D = N_\alpha * N_p * N_q)

求解这个巨型矩阵方程，直接求逆是不可行的。必须使用迭代求解器。在现代计算中，GMRES（广义最小残差方法）是求解这类大型非对称线性系统的首选标准。它是一种 Krylov 子空间方法，能够高效、稳定地在巨大的解空间中找到最优近似解。

4.4 收获物理：从解向量 X 到可观测量#

求解器最终返回一个巨大的解向量 $\mathbf{X}$ ，它包含了所有 T-矩阵分量在分波基矢下的展开系数。现在是收获物理果实的时候了。

$\circ$ 计算单通道跃迁矩阵 $T^J_{fi}$

对于一个给定的总角动量 $J$ ，从初态分波 $|i\rangle$ （例如入射 $l_q=0$ ）到末态分波 $|f\rangle$ （例如出射 $l_q=0$ ）的物理跃迁矩阵元 $T^J_{fi}$ ，可以通过将解向量 $\mathbf{X}$ 与初末态做投影得到。
$<span class="arithmatex"><span class="MathJax_Preview">T^J_{fi} = \langle f | T | i \rangle = \sum_{k=1}^3 \langle f | T^{(k)} | i \rangle</span><script type="math/tex">T^J_{fi} = \langle f | T | i \rangle = \sum_{k=1}^3 \langle f | T^{(k)} | i \rangle$

右边的每一项 $\langle f | T^{(k)} | i \rangle$ 都可以从 $\mathbf{X}$ 的对应分量中线性组合出来。

$\circ$ 构建物理散射振幅 $f(\theta, \phi)$

完整的散射振幅是一个在自旋空间中的矩阵。它是所有分波贡献的相干叠加：
$$
f_{m_f, m_i}(\theta, \phi) = \sum_{J, l_q, l_q', \dots} C_{\text{coeffs}} \cdot T^J_{fi} \cdot Y_{l_q' m_{l_q'}}(\theta, \phi)
$$
这里的 $C_{\text{coeffs}}$ 是一大堆 Clebsch–Gordan 系数，它们负责将线性动量的散射角 $(\theta, \phi)$ 与各种抽象的角动量量子数组合起来，还原出真实的角分布。

$\circ$ 计算可观测量

非极化微分截面：对所有末态自旋求和，并对所有初态自旋做平均。
$$
\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{(2s_n+1)(2s_d+1)} \sum_{\text{all spins}} |f_{m_f, m_i}(\theta, \phi)|^2
$$
极化可观测量（例如分析能 $A_y$ ）：需要计算初态粒子自旋向上（ $\uparrow$ ）和向下（ $\downarrow$ ）的散射截面。
$$
A_y(\theta) = \frac{d\sigma_{\uparrow}/d\Omega - d\sigma_{\downarrow}/d\Omega}{d\sigma_{\uparrow}/d\Omega + d\sigma_{\downarrow}/d\Omega}
$$
分析能这类可观测量对核力的自旋依赖部分（特别是张量力和自旋-轨道耦合力）以及三体力效应极为敏感，是检验理论模型的“精密放大镜”。

至此，我们完成了一次从第一性原理出发，通过严谨的理论和复杂的数值计算，最终得到可与高精度实验数据直接对比的物理预测的完整旅程。这正是现代少体核物理计算研究的核心路径和魅力所在。

最后更新: 2025-11-05
创建日期: 2025-11-05

faddeev方程 的Wave-packet continuum discretisation#

第一章 为何两体散射理论在三体世界轰然倒塌#