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Lane 关系、光学势、EST 展开与 HVH 推导对称能#

本文串联氘核破裂反演对称能的一条上下游链路：

核子-核光学势（KD 2003） → Lane 能量依赖 → 分波相移（Woods-Saxon + Numerov） → EST 可分展开 → Lane 参数 → HVH 定理 → 对称能 \((S_{\mathrm{sym}},\,L)\)。

参考素材：D_nuclear_experiment/note/d_breakup/d_breakup.tex，以及 dpol/toy_DAbreak/docs/physics/04-06（Lane observables、光学输入链、HVH 反演）。

1. 为什么需要这套链路#

在 \((\vec d, pn)\) 破裂反应里，我们想从联合角分布（\(d^2\sigma/d\Omega_p d\Omega_n\), \(A_y\), \(A_{yy}\)）反演核物质对称能 \(S_{\mathrm{sym}}(\rho)\) 与其斜率 \(L\)。但直接的观测量只接触到核子-核（NA）通道的复光学势；对称能是**核物质**的体性质。

桥梁分两段：

  1. NA 光学势 → Lane 能量依赖参数 \((V_1^{(0)}, \alpha_V, W_1^{(0)}, \alpha_W)\)：通过 Koning-Delaroche（KD 2003）全局参数化加一组 Lane-ED 四参数描述同位旋不对称项。
  2. Lane 参数 → \((S_{\mathrm{sym}}, L)\)：通过 Hugenholtz-Van Hove（HVH）定理，把费米面处的 Lane 实部值与斜率翻译成饱和密度处的对称能与斜率。

中间还有一道数值关卡：三体 Faddeev/AGS 求解要求**可分势**（分离势），于是引入 **EST（Ernst-Shakin-Thaler）rank-\(N\) 展开**把 Woods-Saxon 的全复光学势投影到有限秩的可分形式 \((\lambda, \beta)\)，再进入 AGS 的核。

整条流水线可以写成：

(V1_0, α_V, W1_0, α_W)
         │
         ▼
   KD 2003 + Lane-ED      —— 第 2、3 节
         │
         ▼
   WS + Numerov 分波相移    —— 第 4 节
         │
         ▼
   EST rank-N 可分势 (λ, β) —— 第 5 节
         │
         ▼
   AGS / Faddeev 三体求解   —— 观测量
         │
         ▼
   HVH 映射 → (S_sym, L)    —— 第 6 节

2. 核子-核光学势（KD 2003 骨架）#

按 d_breakup.tex 末节的写法，**中心**光学势的实部 \(V_\tau(E)\) 按能量多项式展开并带同位旋依赖：

\[ V_\tau(E,\delta) = V_0(E) + \tau_3\,V_{\mathrm{sym},1}(E)\,\delta + V_{\mathrm{sym},2}(E)\,\delta^2, \]

其中 \(\tau_3 = +1\) 对中子、\(-1\) 对质子，\(\delta = (N-Z)/A\) 是靶核同位旋不对称度。把等号右边三项分别称为：

  • \(V_0(E)\)：同位旋标量势（iso-scalar）；
  • \(V_{\mathrm{sym},1}(E)\)：一阶对称势（Lane 势，\(\propto \delta\)）；
  • \(V_{\mathrm{sym},2}(E)\)：二阶对称势（\(\propto \delta^2\)）。

完整形式还包括虚部体、虚部面、自旋-轨道、库仑项：

\[ V(r,E) = -V_v f_v(r) - i W_v f_v(r) + i 4 a_s W_s \frac{d f_s(r)}{dr} + \frac{2\lambda_\pi^{-2}}{\pi}\!\left(V_{so}+i W_{so}\right)\frac{1}{r}\frac{df_{so}(r)}{dr}\,\mathbf{S}\!\cdot\!\mathbf{L} + V_C(r). \]

KD 2003 对体实深的参数化为

\[ V_V(E) = V_1^{(n/p)}\!\left[1 - V_2\,\Delta E + V_3\,\Delta E^2 - V_4\,\Delta E^3\right],\qquad \Delta E = E - E_F, \]

其中 Fermi 能

\[ E_F^{(n)} = -11.2814 + 0.02646\,A,\qquad E_F^{(p)} = -8.4075 + 0.01378\,A, \]

而同位旋依赖进入 \(V_1\)：

\[ V_1^{(n)} = 59.30 - 21.0\,\delta - 0.024\,A,\qquad V_1^{(p)} = 59.30 + 21.0\,\delta - 0.024\,A. \]

**符号相反**是 Lane 项在 KD 原始参数化中的直接体现。虚部体 \(W_V(E)\)、虚部面 \(W_D(E)\)、几何 \(R_V, a_V, R_D, a_D, R_C\) 都有相应的解析形式（见 toy_DAbreak 讲义第 5.2 节的完整列表）。

3. Lane 关系#

3.1 原始 Lane 形式#

Lane 原始的等价中子/质子势写法：

\[ U_n = U_0 + 4\,U_1\,\frac{N-Z}{A},\qquad U_p = U_0 - 4\,U_1\,\frac{N-Z}{A} + V_C, \]

或紧凑地

\[ U_\tau = U_0 + \tau_3\,U_1\,\delta \quad (\tau_3 = \pm 1). \]

这把 \((n, p)\) 的光学势差额归结到一个**同位旋矢量**分量 \(U_1\)。从物理上看，\(U_1 > 0\) 时，中子在中子过剩核中比在对称核中感到更深的实势（中子"不想进来"，因为价中子已多），这与对称能表达式一致。

3.2 叠加能量依赖：Lane-ED 四参数#

KD 2003 已经含一个**能量无关**的 Lane 不对称项（来自 \(V_1^{(n/p)}\) 和 \(D_1^{(n/p)}\)）。在此之上，对称能反演所需的自由度来自对 \(U_1\) 的**能量依赖**建模。toy_DAbreak 采用最小的四参数线性模型：

\[ V_1(E) = V_1^{(0)} + \alpha_V\,E,\qquad W_1(E) = W_1^{(0)} + \alpha_W\,E. \]

这四个参数 \((V_1^{(0)}, \alpha_V, W_1^{(0)}, \alpha_W)\) 就是闭环反演的自由量。

叠加到 WS 深度时，按通道符号：

\[ V_{\mathrm{tot}}(E, \tau) = V_V^{\mathrm{KD}}(E, \tau) + \mathrm{sign}(\tau)\,V_1(E),\qquad \mathrm{sign}(n) = +1,\;\mathrm{sign}(p) = -1. \]

于是中子 / 质子的 Lane 差等于

\[ V_n - V_p = 2\,V_1(E) = 2\bigl[V_1^{(0)} + \alpha_V\,E\bigr], \]

这是 Lane 势在代码层面可观测的直接数值标志。

3.3 Lane 参数的物理边界#

toy_DAbreak 的 LaneEnergyDepBounds 把物理合理范围作为 LM 拟合的硬约束：

参数 范围 直觉
\(V_1^{(0)}\) \([-5, 20]\) MeV 零能 Lane 实部
\(\alpha_V\) \([-0.10, 0.05]\) Lane 实部能斜率
\(W_1^{(0)}\) \([0, 10]\) MeV 零能 Lane 虚部
\(\alpha_W\) \([-0.02, 0.05]\) Lane 虚部能斜率

4. 从 \(V(r, E)\) 到分波相移：Numerov#

拿到能量依赖的 WS 深度 \(V_{\mathrm{tot}}(E)+iW_{\mathrm{tot}}(E)\) 之后，在径向网格上解**径向 Schrödinger**（对每个 \(l\)，每种电荷，支撑能量集合 \(E_i\)）：

\[ \!\left[\frac{d^2}{dr^2} + k^2 - \frac{l(l+1)}{r^2} - \frac{2\mu}{(\hbar c)^2}\bigl(V(r) + iW(r) + V_C(r)\bigr)\right]\!u_l(r) = 0. \]

WS 形状与面形状：

\[ f_{\mathrm{WS}}(r; R, a) = \frac{1}{1 + e^{(r - R)/a}},\qquad f_{\mathrm{surf}}(r; R, a) = \frac{4\,e^{(r-R)/a}}{\bigl(1 + e^{(r-R)/a}\bigr)^{2}}. \]

库仑势（均匀带电球，仅质子）：

\[ V_C(r) = \begin{cases} \dfrac{Z\alpha\hbar c}{2R_C}\!\left(3 - \dfrac{r^2}{R_C^2}\right), & r < R_C,\\[6pt] \dfrac{Z\alpha\hbar c}{r}, & r \ge R_C. \end{cases} \]

Numerov 从近原点 \(u_l(r_0) = r_0^{l+1}\)、\(u_l(r_1) = r_1^{l+1}\) 出发迭代到 \(r_{\mathrm{match}} = r_{\max}\)，用球 Bessel 解匹配：

\[ \tan\delta_l = \frac{\beta\,j_l(k r) - k\,j_l'(k r)}{\beta\,y_l(k r) - k\,y_l'(k r)},\qquad \beta = \frac{u_l'(r_{\mathrm{match}})}{u_l(r_{\mathrm{match}})}. \]

输出为分波相移 \(\delta_l^{(n/p)}(E)\) 和径向波函数 \(\psi_l(r; E)\)，喂给下一步 EST 展开。

5. EST Rank-\(N\) 可分势展开#

三体 AGS 积分方程对**两体 T-矩阵**要求**可分势**（separable）以保持核紧致、数值可解。Yamaguchi rank-1 形式是最简单的例子：

\[ V_{\mathrm{sep}}(k, k') = \lambda\,g(k)\,g(k'),\qquad g(k) = \frac{1}{k^2 + \beta^2}. \]

EST（Ernst-Shakin-Thaler）给出一种把**全势** \(V(r, E)\) 投影成 rank-\(N\) 可分形式的系统程序，核心是选 \(N\) 个支撑能量 \(E_i\) 与对应的 on-shell 波函数 \(\psi_i(r)\)。

5.1 形状因子（form factor）#

对每个 \(l\) 和每个支撑能量 \(E_i\)，

\[ \phi_i^{(l)}(q) = \int_0^\infty dr\,r\,j_l\!\bigl(q r / \hbar c\bigr)\,V(r; E_i)\,\psi_l(r; E_i). \]

这是**分波 t-matrix 的谱投影**：用 \(\psi_l(r; E_i)\) 作为"优先再现"的态，保证 rank-\(N\) 投影在支撑能量上严格等价于原始势。

5.2 Bateman 矩阵与 \(\Lambda\)#

Bateman 矩阵定义为

\[ B_{ij}^{(\mathrm{LHS})} = \int dr\,\psi_i(r)\,V(r; E_j)\,\psi_j(r), \]

对称化

\[ B_{ij} = \tfrac{1}{2}\bigl(B_{ij}^{(\mathrm{LHS})} + \overline{B_{ji}^{(\mathrm{RHS})}}\bigr), \]

耦合强度矩阵

\[ \Lambda = B^{-1}. \]

于是可分势写成

\[ V_{\mathrm{sep}}^{(l)}(q, q') = \sum_{i,j=1}^{N} \phi_i^{(l)}(q)\,\Lambda_{ij}\,\overline{\phi_j^{(l)}(q')}. \]

toy_DAbreak 固定 \(N = \mathrm{rank} = 3\)，支撑能量取 \((25, 75, 150)\) MeV，分别覆盖低 / 中 / 高能区。对 \(3\times 3\) 直接用 Cramer 展开求逆。

5.3 为什么 \(N=3\)、且支撑能量分散#

每一分波 \(l\) 的 EST 展开通过"在 \(E_i\) 处严格再现"来吸收能量依赖：rank = 3 让 \(s, p, d\) 波分别偏重低、中、高能的势形，保证**Lane 能量斜率** \(\alpha_V\) 有独立的投影信号——否则四参数 \((V_1^{(0)}, \alpha_V, W_1^{(0)}, \alpha_W)\) 会在单一能量处被压成两个标量（实 + 虚），秩亏，反演不可辨识。

5.4 Born 匹配：回到 \((\lambda, \beta)\)#

为了把 rank-\(N\) 结果最终"压"回 AGS 基矩阵实际使用的 rank-1 形式（出于计算代价与相位保留的折衷），做一步 Born K-matrix 匹配：

\[ B_l(k) = \int_0^\infty dr\,r^2\,j_l(k r)^2\,V_{\mathrm{WS}}(r). \]

对两个支撑能量 \(E_1, E_2\)，假设 rank-1 形式因子 \(g_l(k) = 1/(k^2 + \beta^2)\)，由比值

\[ \frac{|B(k_1)|}{|B(k_2)|} = \!\left(\frac{k_2^2 + \beta^2}{k_1^2 + \beta^2}\right)^{\!2} \]

得到 \(\beta^2\) 的封闭解：

\[ \sqrt{R} \equiv \sqrt{\frac{|B_1|}{|B_2|}},\qquad \beta^2 = \frac{k_2^2 - \sqrt{R}\,k_1^2}{\sqrt{R} - 1}. \]

\(\lambda\) 的比值（复数，保留相位）：

\[ \frac{\lambda_{pA}}{\lambda_{nA}} = \frac{B^{(pA)}(k_1)\bigl(p_1^{(pA)\,2} + \beta_{pA}^2\bigr)^{2}} {B^{(nA)}(k_1)\bigl(p_1^{(nA)\,2} + \beta_{nA}^2\bigr)^{2}}. \]

中子通道：\(B^{(nA)} = B^{(\mathrm{iso})} + B^{(\mathrm{iv})}\)；质子通道：\(B^{(pA)} = B^{(\mathrm{iso})} - B^{(\mathrm{iv})}\)——与 Lane 符号约定一致。

至此，给定 Lane 四参数，便能唯一确定 NA 通道在 AGS 中使用的 \((\lambda, \beta)\)。

6. HVH 定义推导对称能#

6.1 核物质能密度与每核子能#

令核子密度 \(\rho = \rho_n + \rho_p\)，不对称度 \(\delta = (\rho_n - \rho_p)/\rho\)。

  • 能密度 \(\xi(\rho, \delta) = \rho\,E(\rho, \delta)\)；
  • 每核子能 \(E(\rho, \delta)\)；
  • 单粒子势 \(U_\tau(\rho, \delta, k)\)，中子/质子分别记 \(\tau = n, p\)。

对称能按 \(\delta\) 的 Taylor 展开：

\[ E(\rho, \delta) = E(\rho, 0) + E_{\mathrm{sym},2}(\rho)\,\delta^2 + E_{\mathrm{sym},4}(\rho)\,\delta^4 + \cdots \]

通常只保留二阶项，\(S_{\mathrm{sym}}(\rho) \equiv E_{\mathrm{sym},2}(\rho)\)。

6.2 Hugenholtz-Van Hove 定理#

**HVH 定理**给出无穷自束缚费米系统在零温的普适关系：

\[ E_F = \frac{d\xi}{d\rho} = E + \rho\,\frac{dE}{d\rho} = E + \frac{P}{\rho}. \]

即**费米面处的单粒子能等于每核子能加压强份额**。对中子/质子分开：

\[ t(k_F^n) + U_n(\rho, \delta, k_F^n) = \frac{\partial\xi}{\partial\rho_n},\qquad t(k_F^p) + U_p(\rho, \delta, k_F^p) = \frac{\partial\xi}{\partial\rho_p}, \]

其中 \(t(k) = k^2/(2m)\)，\(k_F^\tau = k_F\,(1 + \tau\delta)^{1/3}\)，\(k_F = (3\pi^2\rho/2)^{1/3}\) 为对称核物质的费米动量。HVH 定理对任何相互作用的自束缚无限费米系统都严格成立，是"微观单粒子势"与"宏观状态方程"之间的普适桥梁。

6.3 \(\partial\xi/\partial\rho_\tau\) 的 \(\delta\) 分解#

对 \(\xi(\rho, \delta) = \rho\,E(\rho, \delta)\) 按链式法则：

\[ \frac{\partial\xi}{\partial\rho_n} = \frac{\partial\xi}{\partial\rho}\,\frac{\partial\rho}{\partial\rho_n} + \frac{\partial\xi}{\partial\delta}\,\frac{\partial\delta}{\partial\rho_n} = \frac{\partial\xi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\xi}{\partial\delta} - \frac{\delta}{\rho}\frac{\partial\xi}{\partial\delta}, \]
\[ \frac{\partial\xi}{\partial\rho_p} = \frac{\partial\xi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial\xi}{\partial\delta} - \frac{\delta}{\rho}\frac{\partial\xi}{\partial\delta}. \]

两式相减：

\[ \frac{\partial\xi}{\partial\rho_n} - \frac{\partial\xi}{\partial\rho_p} = \frac{2}{\rho}\frac{\partial\xi}{\partial\delta} = 2\,\frac{\partial E(\rho, \delta)}{\partial\delta}. \]

两式相加：

\[ \frac{\partial\xi}{\partial\rho_n} + \frac{\partial\xi}{\partial\rho_p} = 2E(\rho, \delta) + 2\rho\,\frac{\partial E}{\partial\rho} - 2\delta\,\frac{\partial E}{\partial\delta}. \]

6.4 二阶对称能与 Lane 实部的关系#

把 HVH 的两式相减结合 \(U_\tau\) 的 \(\delta\) 展开

\[ U_\tau(\rho, \delta, k) = U_0(\rho, k) + \tau_3\,U_{\mathrm{sym},1}(\rho, k)\,\delta + U_{\mathrm{sym},2}(\rho, k)\,\delta^2 + \cdots \]

在 \(\delta \to 0\) 附近展开 \(\partial E/\partial\delta\)，最终可推得（标准推导见申庆彪《核反应极化理论》或 Li 的综述）：

\[ \boxed{\; E_{\mathrm{sym},2}(\rho) = \frac{1}{6}\!\left.\frac{\partial[t(k) + U_0(\rho, k)]}{\partial k}\right|_{k_F}\!\! k_F + \tfrac{1}{2}\,U_{\mathrm{sym},1}(\rho, k_F) \;} \]

或展开动能项：

\[ E_{\mathrm{sym},2}(\rho) = \frac{1}{3}\,t(k_F) + \frac{1}{6}\!\left.\frac{\partial U_0}{\partial k}\right|_{k_F}\!\! k_F + \tfrac{1}{2}\,U_{\mathrm{sym},1}(\rho, k_F). \]

三项的物理含义：

  1. \(\tfrac{1}{3}\,t(k_F)\)：**自由费米动能**的同位旋贡献；
  2. \(\tfrac{1}{6}(\partial U_0/\partial k)\,k_F\)：同位旋标量势的动量依赖（有效质量）贡献；
  3. \(\tfrac{1}{2}\,U_{\mathrm{sym},1}(\rho, k_F)\)：Lane 实部在费米面上的值。

6.5 引入有效质量 \(m^*/m\)#

把同位旋标量势的动量依赖吸收进有效质量：

\[ \frac{1}{m^*} = \frac{1}{m} + \frac{1}{\hbar^2 k_F}\!\left.\frac{\partial U_0}{\partial k}\right|_{k_F}, \]

则第一、二项合并为

\[ \frac{1}{3}\,t(k_F) + \frac{1}{6}\!\left.\frac{\partial U_0}{\partial k}\right|_{k_F}\! k_F = \frac{1}{3}\cdot\frac{T_F}{m^*/m},\qquad T_F = \frac{(\hbar c)^2 k_F^2}{2m}. \]

于是得到 toy_DAbreak compute_hvh 使用的紧凑形式：

\[ \boxed{\; S_{\mathrm{sym}}(\rho_0) = \frac{1}{3}\,\frac{T_F}{m^*/m} + \tfrac{1}{2}\,U_1(T_F) \;} \]

其中把 \(U_{\mathrm{sym},1}\) 与 Lane 实部 \(U_1\) 在费米能处等同（假设两者在 OMP → HVH 映射下以 \(T = T_F\) 等价）。

6.6 对称能斜率 \(L\)#

斜率 \(L = 3\rho_0\,(\partial S_{\mathrm{sym}}/\partial\rho)|_{\rho_0}\)，在本模型下由三项给出：

\[ L = 2\,S_{\mathrm{sym}} + 3\gamma\,U_1(T_F) + 3 k_F\,\left.\frac{dU_1}{dk}\right|_{k_F}, \]

其中

  • \(\gamma\) 是 \(U_0\) 的**密度依赖指数**（\(U_0 \propto \rho^\gamma\)），toy 模型取 \(\gamma = 0.30\)；
  • \(dU_1/dk\) 通过链式法则由 \(\alpha_V\) 给出：
\[ \left.\frac{dU_1}{dk}\right|_{k_F} = \frac{(\hbar c)^2\,k_F}{m^*}\,\alpha_V, \]

因为 \(U_1(E) = V_1^{(0)} + \alpha_V E\) 且 \(E = (\hbar c)^2 k^2 / (2 m^*)\)（在有效质量框架里）。

6.7 从光学势（\(V\)）到核物质单粒子势（\(U\)）#

注意**光学势 \(V_\tau(E, \delta)\)** 与**单粒子势 \(U_\tau(\rho, k, \delta)\)** 形式相似却定义不同：前者随**入射动能 \(E\)，后者随**费米面内动量 \(k\)。两者通过 \(T(E)\) 转换：

\[ E = T + \mathrm{Re}\,U_0(T) + \mathrm{Re}\,U_1(T), \]

以及

\[ T(E) = T_0(E) - \tau_3\,U_{\mathrm{sym},1}(T)\,\mu(T)\,\delta,\qquad \mu = \left(1 + \frac{dU_0}{dT}\right)^{-1}. \]

于是光学势展开系数 \(V_{\mathrm{sym},k}(E)\) 与单粒子势展开系数 \(U_{\mathrm{sym},k}(T)\) 的关系为：

\[ \begin{aligned} U_0(T(E)) &= V_0(E),\\ U_{\mathrm{sym},1}(T(E)) &= V_{\mathrm{sym},1}\,\mu,\\ U_{\mathrm{sym},2}(T(E)) &= V_{\mathrm{sym},2}\,\mu + \zeta\,V_{\mathrm{sym},1}\,\mu^2 + \vartheta\,V_{\mathrm{sym},1}^{2}\,\mu, \end{aligned} \]

其中

\[ \mu = 1 - \frac{\partial V_0}{\partial E},\qquad \zeta = \frac{\partial V_{\mathrm{sym},1}}{\partial E},\qquad \vartheta = \frac{\partial^{2} V_0}{\partial E^{2}}. \]

toy_DAbreak 的实现直接用 \(V_1(T_F)\) 代 \(U_1(T_F)\)、并以 m_star_ratio = 0.70 固定 \(\mu \leftrightarrow m^*/m\)，省掉 \(E\to T\) 的自洽迭代。这是一种**刚性 HVH 映射**，足够作为闭环反演的自洽代价函数，但不是实验级定量模型。

6.8 数值标定（默认背景参数）#

令 \(\rho_0 = 0.16\,\mathrm{fm}^{-3}\)，\(m^*/m = 0.70\)，\(\gamma = 0.30\)：

  • \(k_F \approx 1.33\,\mathrm{fm}^{-1}\)，\(T_F \approx 36.8\,\mathrm{MeV}\)；
  • 对 truth 点 \(P_{\mathrm{mid}}\)（\(V_1^{(0)} = 8,\,\alpha_V = -0.030\)）：
\[ U_1(T_F) \approx 8 - 0.030\times 36.8 \approx 6.9\ \mathrm{MeV}, \]
\[ S_{\mathrm{sym}} \approx 17.5 + 3.4 \approx 20.9\ \mathrm{MeV}. \]

（低于实验值 \(\sim 32\) MeV，因为 toy 模型的 \(m^*/m\)、\(\gamma\) 是固定占位，不做自洽拟合。）

7. 闭环反演与链路一致性审计#

有了上述链路，四参数 \((V_1^{(0)}, \alpha_V, W_1^{(0)}, \alpha_W)\) 成为 LM 拟合的唯一自由量。run_closed_loop 流程：

  1. 用 truth Lane 正演生成伪观测 \(d^2\sigma_{\mathrm{truth}}[\mathrm{bin}]\)；
  2. 从 bounds 中点出发做 LM 拟合（目标是相对残差），每次评估都要**重跑一次完整 AGS**；
  3. 对 fit 与 truth 分别 compute_hvh；
  4. 分级审计：参数 5%、\(S_{\mathrm{sym}}\) 10%、\(L\) 20%。

\(L\) 的容差最宽，是因为它依赖 \(k_F \cdot dU_1/dk\)，对 \(\alpha_V\) 的放大比显著，\(\alpha_V\) 的拟合不确定度在 HVH 映射里按 \(k_F \approx 1.33\,\mathrm{fm}^{-1}\) 近似翻 2–3 倍到 \(L\) 上。

8. 链路速查表#

符号 定义 所在节
\(V_\tau(E, \delta)\) 光学势能量依赖 + 同位旋展开 §2
\(V_{\mathrm{sym},1},\,V_{\mathrm{sym},2}\) 光学势一阶/二阶对称势 §2, §6.7
\(U_1(\rho, k)\) 核物质一阶对称势（Lane 实部） §3, §6.4
\(V_1^{(0)}, \alpha_V, W_1^{(0)}, \alpha_W\) Lane-ED 四参数 §3.2
\((\lambda, \beta)\) rank-1 可分势强度 / 形状 §5
\(\phi_i^{(l)}(q),\,\Lambda_{ij}\) EST rank-N 形状因子 / 耦合矩阵 §5.1–5.2
\(E_F,\,k_F,\,T_F\) 费米能 / 费米动量 / 费米动能 §6.2, §6.5
\(m^*/m,\,\gamma\) 有效质量比 / 密度依赖指数 §6.5–6.6
\(S_{\mathrm{sym}}(\rho),\,L\) 饱和密度对称能 / 斜率 §6.5–6.6

参考#

  • 申庆彪，《核反应极化理论》（第三章氘核 CDCC、§13.3.8 核势分解、光学势与单粒子势转换）。
  • A. J. Koning, J. P. Delaroche, Local and global nucleon optical models from 1 keV to 200 MeV, Nucl. Phys. A 713, 231 (2003).
  • D. J. Ernst, C. M. Shakin, R. M. Thaler, Separable representations of two-body interactions, Phys. Rev. C 8, 46 (1973)。
  • N. M. Hugenholtz, L. Van Hove, Physica 24, 363 (1958)（HVH 定理原文）。
  • B.-A. Li et al., Nucleon effective mass splitting and symmetry energy, 综述见 Phys. Rep. 464 (2008) 113。
  • 本地素材：
  • D_nuclear_experiment/note/d_breakup/d_breakup.tex（§HVH、光学势、\(E_{\mathrm{sym},2}\) 推导片段）；
  • dpol/toy_DAbreak/docs/physics/04_lane_observables.zh.md；
  • dpol/toy_DAbreak/docs/physics/05_optical_input_chain.zh.md；
  • dpol/toy_DAbreak/docs/physics/06_symmetry_energy_inference.zh.md。
Last update: 2026-04-24
Created: 2026-04-24