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氘核极化测量与极化轴确定

本页整理 isovector reorientation 文章 (Simulation studies of the isovector reorientation effect of deuteron scattering on heavy target) 中关于氘核极化测量、极化散射的推导和监测方案，并在此基础上补充两部分：(1) 束流经过磁场元件时自旋的进动；(2) 在束流不同位置放置极化探测器以确定极化轴的方法。

1. 实验背景#

文章的目标是在 RIKEN Nishina Center 的 SAMURAI 谱仪上，测量 190 MeV/u 极化氘核束流与重靶（\(^{112}\)Sn, \(^{124}\)Sn, \(^{208}\)Pb）散射后发生破裂时，同向性势 (isovector potential) 所导致的 reorientation 效应。该效应要求氘核束流的张量极化必须已知且稳定，因此在靶前放置一个专用 polarimeter 用 \(p(\vec{d},d)p\) 弹性散射来在线监测张量极化。

使用极化束流的意义在于：如果束流不极化，破裂后中子–质子角分布的各向异性会在统计平均下抵消，无法观察到 IVR 效应。

2. 张量极化的定义#

氘核是自旋 1 的原子核。它的极化态由自旋密度算符 \(\hat{\rho}\) 表征。对自旋 1 体系，\(\hat{\rho}\) 是 \(3\times 3\) 的 Hermitian 矩阵，同时携带矢量极化和张量极化信息。

在 Cartesian 基下 (参见 Ohlsen 1972) 密度矩阵可以展开成

\[ \hat{\rho} = \frac{1}{3}\left\{ I + \frac{3}{2}\sum_i p_i \mathscr{P}_i + \frac{2}{3}\sum_{i\neq j} p_{ij}\mathscr{P}_{ij} + \frac{1}{3}\sum_i p_{ii}\mathscr{P}_{ii} \right\} \]

其中 \(\mathscr{P}_i = S_i\) 是矢量极化算符，\(\mathscr{P}_{ij} = 3 S_i S_j - 2I\) 是张量极化算符，\(p_i\) 与 \(p_{ij}\) 是相应的极化分量。由于

\[ \mathscr{P}_{xx} + \mathscr{P}_{yy} + \mathscr{P}_{zz} = 0, \]

张量的三个对角分量并非独立，实验中常取 \(p_{z'z'}\) 或 \(p_{y'y'}\) 作为监测量。

实验中通常使用束流系 \(S'\)：\(z'\) 轴沿入射方向 \(\vec{k}_\text{in}\)，\(y'\) 轴指向上方。理想的张量极化态是 \(p_{z'z'}=1\)（纵向极化）或 \(p_{y'y'}=1\)（垂直极化）。

3. 极化微分散射截面#

末态密度矩阵与初态的关系为 \(\hat{\rho}_f = M\hat{\rho}_i M^\dagger\)。定义分析本领

\[ A_i = \frac{\operatorname{Tr}(M\mathscr{P}_i M^\dagger)}{\operatorname{Tr}(MM^\dagger)}, \qquad A_{ij} = \frac{\operatorname{Tr}(M\mathscr{P}_{ij} M^\dagger)}{\operatorname{Tr}(MM^\dagger)}. \]

从而极化束流的微分截面为

\[ \sigma = \sigma_0(\theta)\left\{ 1 + \frac{3}{2}\sum_i p_i A_i + \frac{1}{3}\sum_{ij} p_{ij} A_{ij} \right\} \]

其中 \(\sigma_0(\theta) = \tfrac{1}{3}\operatorname{Tr}(MM^\dagger)\) 是非极化差分截面。

利用宇称守恒（要求 \(N_x + N_z\) 为偶数）以及束流系 \(S'\) 与散射体系 \(S\) 之间的坐标变换，上式可写成 Ohlsen 形式：

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma(\theta,\phi)}{\sigma_0(\theta)} = 1 &+ \frac{3}{2}(p_{x'}\sin\phi + p_{y'}\cos\phi) A_y(\theta) \\ &+ \frac{2}{3}(p_{x'z'}\cos\phi - p_{y'z'}\sin\phi) A_{xz}(\theta) \\ &+ \frac{1}{6}\big[(p_{x'x'}-p_{y'y'})\cos 2\phi - 2 p_{x'y'}\sin 2\phi\big]\big[A_{xx}(\theta)-A_{yy}(\theta)\big] \\ &+ \frac{1}{2}p_{z'z'} A_{zz}(\theta). \end{aligned} \]

4. LRUD 四探测器方案#

在同一极角 \(\theta\)、方位角 \(\phi = 0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ\) 放置四个探测器，分别记为 L, U, R, D。代入上式得

\[ \begin{aligned} \sigma_L &= \sigma_0\Big\{1 + \tfrac{3}{2}p_{y'}A_y + \tfrac{2}{3}p_{x'z'}A_{xz} + \tfrac{1}{6}(p_{x'x'}-p_{y'y'})(A_{xx}-A_{yy}) + \tfrac{1}{2}p_{z'z'}A_{zz}\Big\}, \\ \sigma_R &= \sigma_0\Big\{1 - \tfrac{3}{2}p_{y'}A_y - \tfrac{2}{3}p_{x'z'}A_{xz} + \tfrac{1}{6}(p_{x'x'}-p_{y'y'})(A_{xx}-A_{yy}) + \tfrac{1}{2}p_{z'z'}A_{zz}\Big\}, \\ \sigma_U &= \sigma_0\Big\{1 - \tfrac{3}{2}p_{x'}A_y + \tfrac{2}{3}p_{y'z'}A_{xz} - \tfrac{1}{6}(p_{x'x'}-p_{y'y'})(A_{xx}-A_{yy}) + \tfrac{1}{2}p_{z'z'}A_{zz}\Big\}, \\ \sigma_D &= \sigma_0\Big\{1 + \tfrac{3}{2}p_{x'}A_y - \tfrac{2}{3}p_{y'z'}A_{xz} - \tfrac{1}{6}(p_{x'x'}-p_{y'y'})(A_{xx}-A_{yy}) + \tfrac{1}{2}p_{z'z'}A_{zz}\Big\}. \end{aligned} \]

4.1 监测 \(p_{y'y'}\)（既有方法）#

按 Bieber 2001 定义左右上下的计数不对称

\[ R_{LRUD} = \frac{N_L + N_R - N_U - N_D}{N_L + N_R + N_U + N_D} = \frac{p_{y'y'}(A_{xx}-A_{yy})}{2 p_{y'y'} A_{zz} - 4}, \]

反解出

\[ p_{y'y'} = \frac{R_{LRUD}}{\tfrac{1}{2}A_{zz} R_{LRUD} - \tfrac{1}{4}(A_{xx}-A_{yy})}. \]

4.2 监测 \(p_{z'z'}\)（本工作提出）#

四路平均截面

\[ \bar{\sigma} = \frac{\sigma_L + \sigma_R + \sigma_U + \sigma_D}{4} = \sigma_0\left(1 + \tfrac{1}{2}p_{z'z'} A_{zz}\right), \]

若已知 \(A_{zz}\) 可直接由 \(\bar{\sigma}\) 得到 \(p_{z'z'}\)。为消去束流强度与靶厚带来的系统误差，取两个不同极角 \(\theta_1\) 与 \(\theta_2\) 处的 \(\bar{\sigma}\) 作比值，即可抵消公共因子，仅保留两个角度的 \(\sigma_0\) 与 \(A_{zz}\) 组合。

5. Polarimeter 设计与模拟结果#

探测器方案：\(p(\vec{d},d)p\) 弹性散射，CH\(_2\) 靶厚 \(1000\,\text{mg/cm}^2\)，束流 \(1.6\times 10^{-3}\) pnA（即 \(10^7\) pps）。双角度反冲质子探测点：\(\theta_1 = 55.9^\circ\) 与 \(\theta_2 = 11.3^\circ\)，靶距 600 mm，探测器接收角各向约 \(20\times 20\,\text{mm}^2\)；并在 \(\theta = 20.87^\circ\) 处放置一个 \(50\times 40\,\text{mm}^2\) 的 deuteron 探测器（距靶 500 mm）。

分析本领取自 Sekiguchi 等人的公开 \(d\)–\(p\) 弹性散射测量数据。

GEANT4 模拟结果：

  • 在 \(\theta_1\) 处四个方位 30 min 内可累积 \(\sim 10^5\) 事例；
  • 两角度计数比对 \(p_{zz}\) 的灵敏度（Fig. Ratio_vs_pzz）和 \(R_{LRUD}\) 对 \(p_{y'y'}\) 的灵敏度（Fig. R_LRUD_vs_pyy）都显示，统计误差远小于 \(\sim 10\%\) 的张量极化分辨率要求；
  • 因此本 polarimeter 可以稳定地把 \(p_{z'z'}\) 与 \(p_{y'y'}\) 监测到 \(\sim 10\%\) 的相对精度。

6. 磁场中的自旋进动#

polarimeter 的读数只给出"在该位置"的极化分量。要把它与束流产生端（polarized ion source 与 Wien filter）以及靶处的极化态联系起来，必须追踪束流在加速与传输系统中的自旋进动。

6.1 氘核的 g-factor#

氘核 g 因子 \(g_d \approx 0.8574\)。定义异常磁矩因子

\[ G = \frac{g - 2}{2}. \]

对氘核 \(G_d \approx -0.1430\)。

6.2 Thomas–BMT 进动#

在纯磁场中，相对论 Thomas–BMT 方程给出自旋绕磁场的进动。对于在竖直弯曲磁场中运动的粒子，自旋相对于动量方向的额外旋转角为

\[ \theta_\text{spin} - \theta_\text{bend} = G\gamma\, \theta_\text{bend}, \]

即自旋 tune（每绕一圈相对动量多转的圈数）为 \(G\gamma\)。

对 190 MeV/u 的氘核，\(\gamma = 1 + T/(m_u c^2) = 1.204\)，

\[ G\gamma \approx -0.172. \]

每经过一段弯铁（几何弯角 \(\theta_B\)），水平面内的极化方向相对动量方向多转过 \(G\gamma\,\theta_B\)。对纵向 \(p_{z'z'}\) 与垂直 \(p_{y'y'}\) 的区别在于：

  • 垂直极化 (\(y'\)) 与磁场方向平行，Thomas–BMT 不会使其在一级效应下发生方向变化，只会保持；
  • 纵向极化 (\(z'\)) 位于水平面内，会随 \(G\gamma\,\theta_B\) 相对动量方向发生旋转，因此从离子源到靶前，polarimeter 前段的任何水平弯铁都会改变"在 polarimeter 处看到的极化轴方向"。

6.3 Wien filter#

RIKEN 方案在加速器前端放置 Wien filter（正交电、磁场）。在 Wien filter 中粒子轨迹不偏转，但自旋可以任意旋转到所需方向。这使得在源端可以把极化轴调到任一目标方向（沿 \(x\), \(y\), \(z\) 中任一轴，或它们的合成方向）。Wien filter 的设定值需要由后续 polarimeter 的实测反馈，以保证到达靶位时的极化轴与设计一致。

6.4 单次通过 cyclotron 提取的自旋守恒#

三台 cyclotron (AVF, RRC, SRC) 的单圈提取（single-turn extraction）保证了束流在加速过程中没有因多圈叠加相消导致的极化幅度降低，最终提取极化仍保持理论值的 \(\sim 80\%\)。

7. 用多位置 polarimeter 确定极化轴#

如果只把 polarimeter 放在束线的一个点上，L/R/U/D 四路计数能够给出该点处几个 \(p_{i'j'}\) 的组合（参见 §4），但无法把极化轴 \(\hat{S}\) 在三维空间中的方向完全确定出来。原因是：在单点处，自由度有限——例如只靠 \(R_{LRUD}\) 本身无法同时解出 (\(\beta,\phi\))。

7.1 任意极化轴下的截面#

把极化轴方向写成球面角 \((\beta,\phi)\)，仅存纵向极化 \(P_{zz}\) 的情况下（Ohlsen 旋转规则，参见本站 spherical_operator.md），束流系中

\[ \begin{aligned} p_{xx} &= \tfrac{1}{2}(3\sin^2\beta\sin^2\phi - 1)P_{zz}, \\ p_{yy} &= \tfrac{1}{2}(3\sin^2\beta\cos^2\phi - 1)P_{zz}, \\ p_{zz} &= \tfrac{1}{2}(3\cos^2\beta - 1)P_{zz}, \\ p_{xy} &= -\tfrac{3}{2}\sin^2\beta\sin\phi\cos\phi\, P_{zz}, \\ p_{yz} &= \sin\beta\cos\beta\cos\phi\, P_{zz}, \\ p_{xz} &= -\sin\beta\cos\beta\sin\phi\, P_{zz}. \end{aligned} \]

相应 LRUD 非对称性变为

\[ \begin{aligned} \frac{2(L-R)}{L+R+U+D} &= \frac{\tfrac{3}{2}P_z\sin\beta A_y}{1 + \tfrac{1}{2}P_{zz}(3\cos^2\beta - 1)A_{zz}}, \\ \frac{2(U-D)}{L+R+U+D} &= \frac{P_{zz}\sin\beta\cos\beta A_{xz}}{1 + \tfrac{1}{2}P_{zz}(3\cos^2\beta - 1)A_{zz}}, \\ \frac{(L+R) - (U+D)}{L+R+U+D} &= \frac{-\tfrac{1}{4}P_{zz}\sin^2\beta(A_{xx}-A_{yy})}{1 + \tfrac{1}{2}P_{zz}(3\cos^2\beta - 1)A_{zz}}. \end{aligned} \]

这三个观测量一起是 (\(P_z\), \(P_{zz}\), \(\beta\), \(\phi\)) 的函数，但实际上 \(\sin\beta\) 与 \(\cos\beta\) 存在分支、\(\phi\) 有 \(\phi \leftrightarrow \phi + \pi\) 的对称性等等。单点 LRUD 对 \(\hat{S}\) 的空间方向并不具完全可逆性。

7.2 多位置 polarimeter 的方案#

沿束线在磁场元件前后各设一台 polarimeter（记为 \(P_1\) 与 \(P_2\)），它们之间的束流要经过已知的磁场 \(B\) 及几何弯角 \(\theta_B\)。根据 §6.2，水平面内的极化轴在两点之间会相对动量方向多转 \(\Delta\phi_s = G\gamma\,\theta_B\)。

设极化轴在 \(P_1\) 处的球面角为 \((\beta,\phi_1)\)，则在 \(P_2\) 处对应于 \(P_2\) 的束流系的角为

\[ (\beta,\phi_2) = (\beta,\phi_1 + G\gamma\,\theta_B). \]

（竖直极化分量 \(\cos\beta\) 部分不受水平弯铁影响，因此 \(\beta\) 在一级近似下不变。）

这样两台 polarimeter 给出的 6 个独立不对称量（每台 3 个）成为四个未知数 (\(P_z\), \(P_{zz}\), \(\beta\), \(\phi_1\)) 的超定方程组。用最小二乘或 \(\chi^2\) 拟合即可同时解出

  1. 矢量极化大小 \(P_z\)；
  2. 张量极化大小 \(P_{zz}\)；
  3. 极化轴天顶角 \(\beta\)；
  4. 方位角 \(\phi_1\) (进而 \(\phi_2\))。

7.3 为什么一定要用磁场做中介#

两台 polarimeter 之间若没有磁场（即 drift space），自旋方向不变，两台读数完全等价，信息量没有增加。必须要有已知的磁场进动 \(\Delta\phi_s\) 才能把原本简并的 (\(\beta,\phi\)) 分量拆开——这就是"利用磁场进动 + 多位置 polarimeter 来确定极化轴"的物理本质。

实际操作上常用的三种"中介磁铁"：

  • 束线上原有的 dipole/弯铁：\(\theta_B\) 几何已知，\(G\gamma\,\theta_B\) 直接给出进动差；
  • 专门的 spin rotator (如 Wien filter, solenoid)：\(\Delta\phi_s\) 可以程序化扫描，作为校准手段；
  • 前置的 solenoid：把极化轴从 \(z'\) 转到 \(y'\) 或其组合，与两端 polarimeter 配合做系统化校准。

7.4 实用布局建议#

对 IVR 实验而言，可以采用的最小配置为：

  1. 在 RRC→SRC bypass beam line 某个弯铁前后各放一台 polarimeter（或复用已有 dPol / BigDpol 设备）；
  2. 目标 polarimeter 设置成本文提出的 LRUD + 双角度 (\(\theta_1, \theta_2\)) 组合，即可同时监测 \(p_{y'y'}\) 与 \(p_{z'z'}\)；
  3. 利用两台 polarimeter 的六个不对称量拟合 (\(P_z,P_{zz},\beta,\phi\))，将结果反馈给源端 Wien filter 进行闭环调节；
  4. 靶前 polarimeter 作最终值使用，IVR 分析以靶前实测 \(p_{z'z'}\) / \(p_{y'y'}\) 为准。

这样既继承了论文中已论证的"单点 LRUD + 双角度"方案的灵敏度，又把极化轴方向纳入可观测量，从而在实验过程中确认 Wien filter 工作在目标状态。

8. 同时存在矢量极化与张量极化的情况#

§7 假设束流只带张量极化 (\(P_{zz}\), \(P_z = 0\))。真实的 RIKEN 极化离子源由不同 RF 跃迁态叠加产生，一般同时带有矢量极化 \(P_z\) 和张量极化 \(P_{zz}\)。此时单一极化轴 \((\beta,\phi)\) 加两个幅度一共有 4 个未知数 \((P_z, P_{zz}, \beta, \phi)\)。

8.1 极化分量的完整表达#

沿 \((\beta,\phi)\) 方向的矢量极化在束流系的分量

\[ \begin{aligned} p_{x'} &= -P_z \sin\beta\sin\phi, \\ p_{y'} &= \phantom{-}P_z \sin\beta\cos\phi, \\ p_{z'} &= \phantom{-}P_z \cos\beta. \end{aligned} \]

张量极化分量（已在 §7.1 给出）重述为

\[ \begin{aligned} p_{x'x'}-p_{y'y'} &= -\tfrac{3}{2}\sin^2\beta\cos 2\phi\, P_{zz}, \\ p_{z'z'} &= \tfrac{1}{2}(3\cos^2\beta - 1)P_{zz}, \\ p_{y'z'} &= \sin\beta\cos\beta\cos\phi\, P_{zz}, \\ p_{x'z'} &= -\sin\beta\cos\beta\sin\phi\, P_{zz}. \end{aligned} \]

8.2 四个独立观测量#

把上述分量代入 §4 的 Ohlsen 截面公式，单台 polarimeter 在同一极角 \(\theta\) 下给出三路不对称量

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{LR} &\equiv \frac{2(\sigma_L - \sigma_R)}{\sigma_L+\sigma_R+\sigma_U+\sigma_D} = \frac{\tfrac{3}{2}P_z \sin\beta\cos\phi\, A_y - \tfrac{2}{3}P_{zz}\sin\beta\cos\beta\sin\phi\, A_{xz}}{1 + \tfrac{1}{4}(3\cos^2\beta - 1)P_{zz} A_{zz}}, \\[4pt] \mathcal{A}_{UD} &\equiv \frac{2(\sigma_U - \sigma_D)}{\sigma_L+\sigma_R+\sigma_U+\sigma_D} = \frac{\tfrac{3}{2}P_z \sin\beta\sin\phi\, A_y + \tfrac{2}{3}P_{zz}\sin\beta\cos\beta\cos\phi\, A_{xz}}{1 + \tfrac{1}{4}(3\cos^2\beta - 1)P_{zz} A_{zz}}, \\[4pt] \mathcal{A}_{LR-UD} &\equiv \frac{(\sigma_L+\sigma_R)-(\sigma_U+\sigma_D)}{\sigma_L+\sigma_R+\sigma_U+\sigma_D} = \frac{-\tfrac{1}{4}\sin^2\beta\cos 2\phi\, P_{zz}(A_{xx}-A_{yy})}{1 + \tfrac{1}{4}(3\cos^2\beta - 1)P_{zz} A_{zz}}. \end{aligned} \]

加上 §4.2 的双角度平均截面比

\[ \mathcal{R}_{12} \equiv \frac{\bar{\sigma}(\theta_1)}{\bar{\sigma}(\theta_2)} = \frac{\sigma_0(\theta_1)}{\sigma_0(\theta_2)}\cdot\frac{1 + \tfrac{1}{4}(3\cos^2\beta - 1)P_{zz} A_{zz}(\theta_1)}{1 + \tfrac{1}{4}(3\cos^2\beta - 1)P_{zz} A_{zz}(\theta_2)}, \]

则单台 polarimeter 共提供 4 个独立观测量 \(\{\mathcal{A}_{LR},\mathcal{A}_{UD},\mathcal{A}_{LR-UD},\mathcal{R}_{12}\}\)，与 4 个未知数数目相同。但这些方程对 \((\beta,\phi)\) 存在多重简并：

  • \(\phi \leftrightarrow \phi + \pi\)：\((\mathcal{A}_{LR},\mathcal{A}_{UD})\) 同时反号，\(\mathcal{A}_{LR-UD}\) 与 \(\mathcal{R}_{12}\) 不变；等价于同时翻转 \(P_z \to -P_z\)，无法区分。
  • \(\beta \leftrightarrow \pi - \beta\)：\(\cos\beta \to -\cos\beta\)，\(\mathcal{R}_{12}\) 与 \(\mathcal{A}_{LR-UD}\) 不变。
  • 当 \(\beta\) 或 \(\sin\beta\) 较小时某些项被压制，对应分量灵敏度骤降。

因此单点 polarimeter 虽然方程数够，但反解不稳定。

8.3 用两台 polarimeter 解除简并#

在两台 polarimeter 之间设置已知水平弯铁（弯角 \(\theta_B\)）。由 §6.2，垂直 \(p_{y'}\) 分量守恒，水平面内的极化分量多旋转 \(\Delta\phi_s = G\gamma\,\theta_B\)。对 \((\beta,\phi)\) 而言，\(\beta\) 不变，而 \(\phi\) 映射为

\[ \phi_2 = \phi_1 + \Delta\phi_s. \]

（严格来说"方位角"指的是水平面内围绕 \(y'\) 的方位，本节仍沿用 §7.1 的 Ohlsen 记号。对纯竖直极化 \(\beta=\pi/2,\phi=0\)，弯铁不改变可观测量，此时必须依赖下文的 spin-flip 方法。）

两台 polarimeter 共给出 8 个观测量：

\[ \big\{\mathcal{A}_{LR}^{(1)},\mathcal{A}_{UD}^{(1)},\mathcal{A}_{LR-UD}^{(1)},\mathcal{R}_{12}^{(1)};\ \mathcal{A}_{LR}^{(2)},\mathcal{A}_{UD}^{(2)},\mathcal{A}_{LR-UD}^{(2)},\mathcal{R}_{12}^{(2)}\big\}. \]

其中 \((2)\) 号 polarimeter 的公式结构与 \((1)\) 号完全相同，只是把 \(\phi_1\) 换成 \(\phi_1 + \Delta\phi_s\)。把这 8 个非线性方程用 \(\chi^2\) 最小化

\[ \chi^2(P_z, P_{zz}, \beta, \phi_1) = \sum_{k=1}^{2}\sum_{X\in\{LR,UD,LR-UD,12\}}\frac{\big[\mathcal{A}_X^{(k),\text{meas}} - \mathcal{A}_X^{(k),\text{model}}(P_z,P_{zz},\beta,\phi_k)\big]^2}{\delta_X^{(k)\,2}} \]

同时对 \((P_z, P_{zz}, \beta, \phi_1)\) 进行拟合，即可唯一解出 4 个未知数，且留下 4 个自由度可用于自洽检验（goodness-of-fit 与系统偏差诊断）。

8.4 与 spin-flip 技术的互补#

在离子源端切换 RF 跃迁态可以得到几组不同的源态，例如

源态 \(P_z\) \(P_{zz}\)
纯 \(m=+1\) \(+1\) \(+1\)
纯 \(m=0\) \(\phantom{+}0\) \(-2\)
纯 \(m=-1\) \(-1\) \(+1\)

态 \(m=\pm 1\) 互换可翻转 \(P_z\) 而保持 \(P_{zz}\)；因此

  • \((N^{(+)}-N^{(-)})\) 只留下线性 \(P_z\) 的项 → 直接给出 矢量不对称；
  • \((N^{(+)}+N^{(-)})/2 - N^{\text{unpol}}\) 只留下线性 \(P_{zz}\) 的项 → 直接给出 张量不对称。

这两类技术互补：

  • Spin-flip 从源端纯化观测量，代价是需要可控且稳定的快速源态切换；
  • 两台 polarimeter 利用传输线自身的磁场进动同时确定极化幅度与极化轴方向，不要求源态切换，但要求至少一段已知几何的弯铁。

实践上推荐两者合用：以 spin-flip 把 \(\{P_z, P_{zz}\}\) 的线性响应分开，再用两台 polarimeter 的 8 个观测量同时拟合 \(\beta\) 与 \(\phi\)，把 Wien filter 的闭环调节精度推到极化轴角度 \(\sim\) 几度的量级。

8.5 拟合流程小结#

  1. 离线标定：在已知源态（如 unpolarized 或纯 \(m=0\)）下测 \(\sigma_0(\theta_1),\sigma_0(\theta_2)\)，固定两台 polarimeter 的几何与效率因子；从 \(d\)–\(p\) 数据库（Sekiguchi 等）取 \(A_y(\theta),A_{xz}(\theta),A_{zz}(\theta),(A_{xx}-A_{yy})(\theta)\)。
  2. 在线数据：对每个源态取两台 polarimeter 的计数，计算 8 个观测量及其统计误差。
  3. 全局 \(\chi^2\) 拟合 \((P_z, P_{zz}, \beta, \phi_1)\)；\(\Delta\phi_s\) 作为固定量（或作为 nuisance 参数）。
  4. 用 spin-flip 后的独立数据集交叉验证，确认拟合稳定性。
  5. 把 \((\beta,\phi)\) 的实测值反馈到 Wien filter，实现极化轴闭环稳定。

9. 与相关参考页的交叉索引#

  • spherical_operator.md：Cartesian / spherical tensor 的算符矩阵、\(U\) 变换下的张量分量、极化轴 \((\beta,\phi)\) 分解；
  • my_polarimeter.zh.md：束团间隔 (bunch spacing) 与 polarimeter 时间分辨率要求；
  • other_polarmeter.zh.md：RIKEN (dPol, BigDpol, KuJyaku)、JINR (DSS)、COSY (EDDA, JePo) 等组的 polarimeter 方案对比；
  • stastic.zh.md：从多项式分布/误差传递角度评估 \(R_{LRUD}\)、\(\bar{\sigma}_{\theta_1}/\bar{\sigma}_{\theta_2}\) 的统计不确定度。
最后更新: 2026-04-24
创建日期: 2026-04-24