一维 delta 势#
整个散射理论框架最少能写多少行？这一篇的目的就是回答这个问题：把已经在主线笔记里铺开的 Møller、\(S\)、\(T\)、resolvent 极点，全部压缩到一维 delta 势上，让每一个抽象对象都对应一行可手算的代数。
全文取 \(\hbar = 1\)，\(2m = 1\)，能量与波数的关系是 \(E = k^2\)。
目标#
- 锚定
S_matrix_and_cross_section.zh.md中 \(S = \mathbf 1 + R\) 的拆分：在一维里 \(R\) 对应反射振幅 \(r\)，\(T\) 对应透射振幅 \(t-1\) 的部分。 - 锚定
Green_operator.zh.md中"束缚态 = \(G(z)\) 在物理面上的实极点"的结论：这里束缚态由 \(t(k)\) 在正虚轴上的极点直接给出。 - 给后续几篇可解模型提供一个最小骨架：势、匹配条件、S 矩阵元、极点、数值验证按这个顺序串起。
势的定义#
定态薛定谔方程
势只支撑在原点，所以 \(x \neq 0\) 区域里波函数是自由波叠加。匹配条件来自把方程对 \(x\) 在 \([-\epsilon, +\epsilon]\) 上积分，再令 \(\epsilon \to 0^+\)：
- 连续性：\(\psi(0^+) = \psi(0^-)\)。
- 导数跳变：
吸引势对应 \(\lambda < 0\)，排斥势对应 \(\lambda > 0\)。
散射态与 S 矩阵#
考虑从左入射的散射态：
代入两条匹配条件：
消去 \(r = t - 1\)，得到
直接验证幺正性：
由空间反演对称性 \(V(-x) = V(x)\)，从右入射给出同样的 \(t\) 和 \(r\)。所以二维 \(S\) 矩阵在通道基 \(\{\text{从左入射}, \text{从右入射}\}\) 上写成
把它对角化到宇称基 \(\{\text{偶}, \text{奇}\}\)：
- 偶通道 \(\psi_e \propto \cos(k|x| + \delta_e)\)，\(S_e = e^{2i\delta_e} = r + t\)；
- 奇通道 \(\psi_o \propto \sin(kx)\)，在原点为零，\(\delta\) 看不见，\(S_o = 1\)。
代入解析式：
整理可得 \(\tan\delta_e(k) = -\,\lambda /(2k)\)，即偶通道相移完全由耦合 \(\lambda\) 与波数 \(k\) 决定，奇通道相移恒为零。
解析延拓与束缚态极点#
把 \(t(k)\) 当作复 \(k\) 平面上的函数。它的唯一极点在
物理面上的束缚态对应正虚轴极点 \(k = i\kappa\)（\(\kappa > 0\)，使 \(e^{ikx} = e^{-\kappa x}\) 在 \(x \to +\infty\) 衰减）。读出条件：
束缚态能量
排斥势 \(\lambda > 0\) 时极点跑到下半平面（非物理面），无束缚态。这与 Green_operator.zh.md 中"束缚态是物理面上的实极点"的结论一一对应：在一维 delta 势里，整张 \(S\) 矩阵只有这一个极点，理论框架与具体例子完全合拍。
束缚态归一化波函数
留数也容易算：\(t(k)\) 在 \(k_* = i\kappa\) 处的留数为 \(i\kappa\)，与束缚态 wavefunction 的能壳投影系数完全匹配（这一对应在 Newton 的 Section 12.1.b 里写得最清楚）。
与 T 矩阵和 LS 方程的对账#
按 T_and_U_operators.zh.md 的定义，\(T(E)|\alpha\rangle = V|\psi_\alpha^{(+)}\rangle\)。一维 delta 的 \(V|\psi^{(+)}_k\rangle\) 完全集中在原点：
所以 on-shell \(T\) 矩阵元（动量基）
把 \(t(k) = 2ik/(2ik - \lambda)\) 代入，得到
这条式子里 \(k'\) 不进右侧任何地方，是因为 separable 势（这里其实就是 rank-1 separable，\(V = \lambda\, |0\rangle\langle 0|\)）的 T 矩阵在动量空间天然不依赖于出射动量。这一结构在第 5 篇 separable rank-1 笔记里会推广为一般 form factor。
把这一结果与 LS 方程交叉检验：
代入 \(V = \lambda\, |0\rangle\langle 0|\)，作 ansatz \(T(E) = \tau(E)\, |0\rangle\langle 0|\)，其中 \(\tau(E)\) 是待定标量。LS 化为
其中
（一维自由格林函数取边界值的标准结果。）解得
恰好匹配上面的直接结果。这条小练习把 LS 方程的 separable 解结构在最简单情形下走通了一遍。
数值与图#
下面给出 01_1d_delta.py 的关键片段（完整可运行版本在同目录）。它做四件事：
- 解析地画 \(|t(k)|^2\)、\(|r(k)|^2\) 与 \(|t|^2 + |r|^2\) 验证幺正性。
- 在复 \(k\) 平面上扫描 \(|t(k)|\)，定位极点。
- 对吸引势从能量域反推束缚态：\(E_b = -\lambda^2/4\) 与极点位置 \(k_* = -i\lambda/2\) 对照。
- 偶通道相移 \(\delta_e(k)\) 随 \(k\) 的变化。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def t_r(k, lam):
"""Transmission and reflection amplitudes for V(x)=lam*delta(x)."""
denom = 2j * k - lam
return 2j * k / denom, lam / denom
def phase_shift_even(k, lam):
return np.arctan(-lam / (2 * k))
# Figure 1: |t|^2, |r|^2 vs k for attractive (lam=-2) and repulsive (lam=+2)
k = np.linspace(0.05, 5.0, 400)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))
for ax, lam, title in zip(axes, [-2.0, +2.0], ['Attractive λ=-2', 'Repulsive λ=+2']):
t, r = t_r(k, lam)
ax.plot(k, np.abs(t)**2, label='|t|²')
ax.plot(k, np.abs(r)**2, label='|r|²')
ax.plot(k, np.abs(t)**2 + np.abs(r)**2, '--', label='sum')
ax.set_xlabel('k'); ax.set_title(title); ax.legend()
plt.tight_layout(); plt.savefig('assets/01_1d_delta/transmission.png', dpi=140)
两图共同的事实：
- \(|t|^2 \to 1\) 当 \(k \to \infty\)：高能下 delta 势相当于扰动可忽略；
- \(|r|^2 \to 1\) 当 \(k \to 0\)：低能下完全反射，这是一维通用的现象（Wigner 阈值定理在一维退化为 \(k^0\) 而非 \(k^{2l+1}\)）；
- 吸引和排斥的 \(|t|\)、\(|r|\) 完全相同——这一点在三维就不成立，因为束缚态对相移在低能极限留下了 Levinson 印记。
# Figure 2: |t(k)| on complex k plane to visualize bound-state pole
lam = -2.0
kr = np.linspace(-3, 3, 400)
ki = np.linspace(-2, 2, 300)
KR, KI = np.meshgrid(kr, ki)
K = KR + 1j * KI
T = 2j * K / (2j * K - lam)
plt.figure(figsize=(6, 5))
plt.pcolormesh(KR, KI, np.log10(np.abs(T) + 1e-3), shading='auto', cmap='viridis')
plt.colorbar(label='log10 |t(k)|')
plt.axhline(0, color='w', lw=0.5); plt.axvline(0, color='w', lw=0.5)
kappa = -lam / 2
plt.plot(0, kappa, 'r*', ms=15, label=f'pole k=i*{kappa:.2f}')
plt.xlabel('Re k'); plt.ylabel('Im k'); plt.legend()
plt.savefig('assets/01_1d_delta/pole.png', dpi=140)
亮点正落在 \(k = i\kappa = i\,|\lambda|/2\) 上，与解析公式吻合。把 \(\lambda\) 翻号，亮点会切到下半平面，对应非物理面，束缚态消失。
# Figure 3: even-channel phase shift δ_e(k)
k = np.linspace(0.05, 5.0, 400)
for lam, c in zip([-2.0, -0.5, +0.5, +2.0], ['C0', 'C1', 'C2', 'C3']):
plt.plot(k, phase_shift_even(k, lam), c, label=f'λ={lam}')
plt.xlabel('k'); plt.ylabel('δ_e(k)'); plt.legend()
plt.savefig('assets/01_1d_delta/phase_shift.png', dpi=140)
吸引势 \(\delta_e \to \pi/2\) 当 \(k \to 0\)，正是束缚态存在的标志（一维版的 Levinson）；排斥势 \(\delta_e \to -\pi/2\)，无束缚态。两条曲线在 \(k \to \infty\) 都回到零。
与主线笔记的对账#
按主线笔记的结构倒推：
| 主线 | 一维 delta 中的对应 |
|---|---|
S_matrix_and_cross_section.zh.md:218，\(S = \Omega_-^\dagger \Omega_+\) |
\(S(k) = \begin{pmatrix} r & t \\ t & r \end{pmatrix}\)，宇称基对角化 |
| 同上 §3，\(S = \mathbf 1 + R\) 拆分 | \(R(k) = \begin{pmatrix} r & t-1 \\ t-1 & r \end{pmatrix}\) |
Green_operator.zh.md:412，束缚态是物理面实极点 |
极点 \(k_* = -i\lambda/2\)，\(E_b = -\lambda^2/4\)（仅吸引） |
T_and_U_operators.zh.md:353，\(T(E) = V + V G_0^{(+)} T\) |
separable ansatz $T = \tau\, |
partial_wave_projection.zh.md:374，\(T_l(k,k;E) = -\,e^{i\delta_l}\sin\delta_l/(\pi\mu k)\) |
在偶通道：\(\tau(E) \propto e^{i\delta_e}\sin\delta_e/k\)（系数差由维度决定） |
奇通道相移恒为零这一点，对应于 \(\delta\) 函数势在 \(\psi(0) = 0\) 子空间上不起作用——本质上是势的 separable 秩为 1，奇通道完全在它的零空间里。
next-step#
留几个还没合上的口子，留给后面几篇或读者：
- 双 delta 势 \(V = \lambda[\delta(x-a) + \delta(x+a)]\)：会出现共振（透射峰不再单调），奇/偶通道都被激活，是从"无共振"到"窄共振"最小的过渡。
- 一维 delta 与三维 s 波的对应：用 \(u_l(r) = r\psi_l(r)\) 代换，三维 s 波在 \(r > 0\) 的方程与一维半线性方程在 \(x > 0\) 一致，但边界条件 \(u_l(0) = 0\) 比一维多一个约束。
- 时间域生存振幅：\(\langle\psi_b | e^{-iHt}|\psi_b\rangle = e^{-iE_b t}\) 是纯指数（无衰减、无 cut 修正），因为是真正的束缚态。这与
friedrichsModel.zh.md中的 Gamow 态形成对比——共振才有非平凡的 cut 贡献。
Created: 2026-05-08