Yukawa 势与 Born 近似

可解模型系列第 4 篇。前三篇（一维 delta、三维方阱、delta 壳）都是分段常势，匹配条件可以闭式解到底。Yukawa 势 \(V(r) = -V_0\,e^{-\mu r}/(\mu r)\) 是第一个真正"光滑且有耦合常数"的例子：Born 振幅有干净的 Lorentzian 闭式，但精确相移只能数值算。这个张力正好让我们把 Born 近似的有效区、Born 级数的发散与束缚态阈值串成一条线。

全文取 \(\hbar = 1\)，\(2m = 1\)，能量 \(E = k^2\)。

目标

• 给主线笔记 S_matrix_and_cross_section.zh.md §6 中 Born 振幅 \(f^B\) 一个最简洁的解析例子，对照 T_and_U_operators.zh.md 的 LS 一阶展开。
• 与精确分波解（Numerov 数值积分）的相移作并排对比，看出"耦合 \(\to\) 1，Born 失效"的拐点。
• 把这个拐点连到 Newton/Bargmann 的束缚态判据：Born 级数发散、束缚态出现、Levinson 相移跳变 \(\pi\)，是同一件事。

势的定义与无量纲化

Yukawa 势写法：

\[ V(r) = -V_0\,\frac{e^{-\mu r}}{\mu r}, \qquad V_0, \mu > 0. \]

参数 \(\mu\) 是屏蔽长度的倒数，\(V_0/\mu\) 控制深度。在 \(\hbar = 2m = 1\) 单位下，\(V_0\) 与 \(\mu^2\) 同量纲（都是能量），所以唯一的无量纲耦合是 \(V_0/\mu^2\)。把长度按 \(1/\mu\) 量纲化（\(\rho = \mu r\)）：

\[ \frac{1}{\mu^2}\,V(r) = -\,\frac{V_0/\mu^2}{\rho}\,e^{-\rho}. \]

整套散射问题只依赖 \(V_0/\mu^2\) 和 \(k/\mu\) 两个无量纲量。下面所有图都设 \(\mu = 1\)，等价于把 \(\mu\) 当作能量单位。

Born 振幅闭式

按 S_matrix_and_cross_section.zh.md:506 的定义，Born 近似把入态 \(\psi_\mathbf{k}^+\) 用自由平面波 \(e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\) 替代，振幅为

\[ f^B(\mathbf k_f \leftarrow \mathbf k) = -\frac{m}{2\pi}\int d^3r\,e^{-i\mathbf q\cdot\mathbf r}\,V(r), \qquad \mathbf q = \mathbf k_f - \mathbf k. \]

在 \(2m = 1\)（\(m = 1/2\)）约定下系数变成 \(-1/(4\pi)\)。对球对称势，三维傅里叶积分先把角度积掉：

\[ \int d^3r\,e^{-i\mathbf q\cdot\mathbf r}\,V(r) = \frac{4\pi}{q}\int_0^\infty dr\, r\sin(qr)\,V(r). \]

代入 \(V(r) = -V_0 e^{-\mu r}/(\mu r)\) 后只剩一维拉普拉斯型积分：

\[ \int_0^\infty dr\,e^{-\mu r}\sin(qr) = \frac{q}{q^2 + \mu^2}. \]

整合所有系数：

\[ \boxed{\;f^B(q) = \frac{V_0/\mu}{q^2 + \mu^2}, \qquad q = 2k\sin(\theta/2).\;} \]

这就是 Yukawa 在 Born 近似下的全部内容：一条 Lorentzian。它的关键性质有三：

• 与 \(\theta\) 无关的部分纯粹由 \(V_0/\mu\) 控制，是"前向散射强度"。
• 半宽度 \(q \sim \mu\)，对应空间尺度 \(\sim 1/\mu\)。短程势（\(\mu\) 大）给出宽 Lorentzian、各向同性散射；长程势（\(\mu\) 小）给出尖锐的前向峰。
• \(\mu \to 0\) 极限退化为 Coulomb 振幅 \(f^B \propto 1/q^2\)，对应微分截面 \(d\sigma/d\Omega \propto 1/q^4 \propto 1/\sin^4(\theta/2)\)，正是 Rutherford 公式。完整的 Coulomb 长程修正（Sommerfeld 因子、库仑相移）属于另一条故事线，留给后续的 Coulomb 笔记。

下图是 \(|f^B(q)|^2\) 对几个 \(\mu\) 值的对数图。\(\mu\) 越小，前向越尖锐，远端 \(q \gg \mu\) 段都收敛到同一个 \(V_0^2/(\mu^2 q^4)\) 包络。

Born 级数何时收敛

Born 近似是 LS 方程

\[ T(E) = V + V\,G_0^{(+)}(E)\,T(E) \]

的一阶截断。把它继续迭代得到 Born 级数 \(T = V + VG_0V + VG_0VG_0V + \cdots\)。这个几何级数是否收敛，由算子 \(V G_0(E)\) 的谱半径决定。粗略判据是无量纲耦合 \(V_0/\mu^2 \ll 1\)：在能量集合上 \(\|VG_0\| < 1\)，级数绝对收敛。

更精细的指标是物理判据：当 \(V\) 强到足够支撑一个束缚态时，\(T(E)\) 在那个负能量上有极点，\(1 - V G_0\) 算子不可逆，Born 级数在那条能量线附近一定发散。Bargmann 不等式给出 s 波束缚态数 \(N_0\) 的上界：

\[ N_0 \le \int_0^\infty dr\,r\,|V(r)|. \]

对 Yukawa 势 \(\int_0^\infty dr\,r\,V_0 e^{-\mu r}/(\mu r) = V_0/\mu^2\)，所以 \(V_0/\mu^2 < 1\) 时一定无束缚态。这是必要条件，不一定紧。Yukawa 数值上的真实 s 波束缚态阈值大约在 \(V_0/\mu^2 \approx 1.68\)（见后面的扫描图），Bargmann 给出的 \(0.84\) 上界是保守的。

把三件事并起来：

• Born 近似对相移的精度 \(\sim\) 第二阶 Born 项 \(\sim (V_0/\mu^2)^2\)；
• Born 级数发散 \(\Leftrightarrow\) \(T(E)\) 在某个能量上有极点；
• 极点恰好对应束缚态。

下图是数值精确 s 波相移与 Born 公式的对照（\(\mu = 1\) 固定，三个 \(V_0\) 值）。\(V_0 = 0.1\) 时两条线肉眼重合；\(V_0 = 0.5\) 时小幅偏离；\(V_0 = 1.5\) 时已经在 Bargmann 上界以内、但接近真实阈值，Born 严重低估相移。

s 波 Born 相移本身有闭式：从 partial_wave_projection.zh.md:348 出发把 \(j_0(kr) = \sin(kr)/(kr)\) 代入

\[ \delta_l^B(k) = -k\int_0^\infty dr\,r^2\,V(r)\,[j_l(kr)]^2, \]

s 波得到

\[ \delta_0^B(k) = -\frac{1}{k}\int_0^\infty dr\,V(r)\sin^2(kr) = \frac{V_0}{4 k\mu}\,\ln\!\left(1 + \frac{4 k^2}{\mu^2}\right). \]

弱耦合下这就是相移；强耦合下数值与公式拉开几十个百分点的差距。

微分截面：Born vs 全分波

把数值 \(\delta_l\) 叠回散射振幅

\[ f(\theta) = \frac{1}{k}\sum_l (2l+1)\,e^{i\delta_l}\sin\delta_l\,P_l(\cos\theta), \]

可以看到 Born 近似在中等耦合就开始失败的全貌。下图是 \(V_0 = \mu = 1\)、\(k = 1.5\) 的一帧：Born 振幅幅度系统性偏高、且仍然单调，而 full partial-wave sum（截到 \(l_{\max} = 6\)）在 \(\theta \approx 40^\circ\) 处出现一个 Born 看不见的浅极小，对应 \(\delta_0\) 与 \(\delta_1\) 干涉相消。

这个极小是非微扰的：它的位置依赖于多个分波相移之间的相对相位，是 Born 一阶振幅没有任何信息可以预测的。与第 2 篇方阱里的 Ramsauer-Townsend 极小是同源现象——Yukawa 这里耦合还不算非常强，但已经能定性看到。

屏蔽 Coulomb 极限

\(\mu \to 0\) 时 \(V(r) = -V_0/(\mu r) \cdot (1 - \mu r + \mu^2 r^2/2 - \cdots) \to -V_0/(\mu r)\)。注意 \(V_0/\mu\) 必须保持有限——把 \(V_0/\mu \equiv Z\alpha\) 当作 Coulomb 强度。Born 振幅化为

\[ f^B(q) \xrightarrow{\mu \to 0} \frac{Z\alpha}{q^2}, \qquad \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{(Z\alpha)^2}{16 k^4 \sin^4(\theta/2)}, \]

这是 Rutherford 公式（在 \(2m = 1\) 单位下）。形式上 Born 一阶给出了正确的 Coulomb 微分截面——这其实是一个著名巧合：纯 Coulomb 散射的精确振幅与 Born 振幅相差一个相位 \(e^{i\sigma_l}\)，模平方时相位掉了。但 Born 级数本身在 \(\mu = 0\) 时发散（每一阶都有红外发散的对数），需要走 Rutherford 散射的专门处理（Coulomb 函数、Sommerfeld 参数）。本系列后续的 Coulomb 笔记会展开这一点；这里只指出有限 \(\mu\) 起到了红外调节器的作用。

束缚态阈值与 Levinson 跳变

把 \(V_0\) 从小扫到大、保持 \(k = 0.05\)（接近零能），看 \(\delta_0\) 怎么变。Levinson 定理告诉我们 \(\delta_0(k\to 0) - \delta_0(k\to \infty) = N_b\pi\)，其中 \(N_b\) 是 s 波束缚态数。\(\delta_0(k\to\infty) \to 0\)，所以低能极限里每出现一个新的束缚态，\(\delta_0(0)\) 就跳一次 \(\pi\)。

数值结果：第一次跳变发生在 \(V_0 \approx 1.68\)，与 Yukawa s 波束缚态的标准阈值符合。Bargmann 不等式给出的 \(V_0/\mu^2 \le 0.84\) 上界标在图上，是真实阈值的一半左右，明显保守——它只用到 \(\int r\,|V|\,dr\)，没看到 Yukawa 指数压制带来的额外有效宽度。

把这一段连到 Born 失效：

• \(V_0/\mu^2 \ll 1\)：Born 有效，\(\delta_0 \approx \delta_0^B\)，T 矩阵在物理面无极点。
• \(V_0/\mu^2 \to 1.68^-\)：精确相移已经远离 Born，T 矩阵在物理面接近虚轴的极点逼近实轴；Born 级数收敛半径耗尽。
• \(V_0/\mu^2 = 1.68\)：极点撞上原点，\(\delta_0(0)\) 跳 \(\pi\)，第一束缚态从连续谱里冒出来。
• \(V_0/\mu^2 > 1.68\)：极点离开原点上行到正虚轴的某个 \(i\kappa\)，束缚态稳定存在。

这是同一个 \(T(E)\) 的解析结构在三个层面的同时表现：Born 级数收敛半径 = 物理面到第一极点的距离 = 第一束缚态的"诞生"位置。一维 delta 势里这条链条退化成代数方程；Yukawa 这里它仍然是同一条链条，只是要数值地求解。

与主线笔记的对账

主线	Yukawa 中的对应
S_matrix_and_cross_section.zh.md:506，\(f^B = -\frac{m}{2\pi}\int e^{-i\mathbf q\cdot\mathbf r} V\)	\(f^B(q) = (V_0/\mu)/(q^2 + \mu^2)\)
T_and_U_operators.zh.md，Born 级数 \(T = V + VG_0V + \cdots\)	收敛半径 \(\sim V_0/\mu^2 < 1.68\)
partial_wave_projection.zh.md:348，\(\delta_l^B = -k\int r^2 V j_l^2\)	\(\delta_0^B = V_0/(4k\mu)\ln(1 + 4k^2/\mu^2)\)
Green_operator.zh.md，束缚态 = \(T(E)\) 物理面实极点	首次极点在 \(V_0/\mu^2 \approx 1.68\)
Levinson 定理（同上 partial_wave_projection.zh.md）	\(\delta_0(0)\) 跳 \(\pi\) 与束缚态出现同步

next-step

留下的口子：

• 介质极点：在 \(V_0/\mu^2\) 略低于阈值时，T 矩阵会在第二黎曼面的负实轴附近留下虚态（virtual state）极点。它影响低能 s 波散射长度但不是束缚态。这一现象与方阱的弱束缚极限同源。
• 二阶 Born：Yukawa 的二阶 Born 项 \(\langle k_f|V G_0 V|k_i\rangle\) 仍然有闭式（dilogarithm），可以验证 Born 级数收敛半径的解析估计。
• Coulomb 极限的细节：Born 振幅在 \(\mu = 0\) 给出对的截面但错的相位，对极化、干涉测量是关键。下一篇会处理。

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Last update: 2026-05-08
Created: 2026-05-08