一维势阱加势垒：α 衰变图像#
前一篇 delta 壳层把共振做到了三维，但壳是无限薄的——耦合 \(\gamma\) 只有一个数。这一篇换最朴素的几何：左边一个有限深度的方阱关住粒子，右边一道矩形势垒挡住出口。粒子在阱里反复撞墙，每次撞到右墙都有一定概率穿透出去——这就是 Gamow 1928 年解释 α 衰变时画的图像。势垒越宽，穿透越难，寿命越长，复能量平面里的极点越靠近实轴。
全文取 \(\hbar=1\)，\(2m=1\)，\(E=k^2\)。半线 \(x \geq 0\)，原点设硬墙（也可以视为对称双阱的奇宇称投影）。
势的定义#
参数 \(V_0=20,\,V_1=8,\,a=1,\,b=2\)。\(V_0\) 决定阱深与束缚密度；\(V_1\) 与 \(b\) 决定泄漏率。\(V_1>E_R\) 时为亚阈共振，这是本篇的关注区。
定态薛定谔方程对 \(u(x)=\psi(x)\)（一维不需要 \(u=r\psi\) 替换）
三个区域里方程都是常系数线性二阶 ODE，只需在 \(x=a\) 与 \(x=a+b\) 处匹配 \(u\) 与 \(u'\)。
三段式严格解#
记 \(q=\sqrt{V_0+E}\)，\(\kappa=\sqrt{V_1-E}\)，\(k=\sqrt{E}\)。
- 阱内 \((0,a)\)：\(u_\text{I}(x)=A\sin(qx)\)，已自动满足硬墙边界。
- 势垒中 \((a,a+b)\)：\(u_\text{II}(x)=B\,\mathrm e^{\kappa(x-a)}+C\,\mathrm e^{-\kappa(x-a)}\)。
- 外侧 \((a+b,\infty)\)：\(u_\text{III}(x)=\sin(kx+\eta)\)，\(\eta(E)\) 是 s 波相移。
\(x=a\) 处 \(u\)、\(u'\) 连续给出 \(B+C=A\sin(qa)\)，\(B-C=A\,(q/\kappa)\cos(qa)\)。代入 \(u_\text{II}\) 后在 \(x=a+b\) 求对数导数 \(L\equiv u'/u|_{a+b}\)：
外侧 \(u_\text{III}\) 给出 \(u'/u|_{a+b}=k\cot(k(a+b)+\eta)\)。两者相等解出
复能量延拓到第二张面时，写 \(u_\text{III}\) 为入射加出射 \(u_\text{III}\propto\mathrm e^{-ikx}-S(E)\,\mathrm e^{ikx}\)，可整理出
实 \(E>0\) 时 \(L\) 为实数，\(|S|=1\)，幺正性自动成立——与 S_matrix_and_cross_section.zh.md:229 中的 \(S^\dagger S=\mathbf 1\) 在单通道半线情形完全一致。
共振条件#
让 \(E\) 走到下半复平面。S 矩阵的极点要求分母 \(L(E)+ik=0\)，即
约定 \(k=\sqrt E\) 取上半面分支（物理面），共振极点位于第二张面下半面 \(\mathrm{Im}\,E<0\)。其实部 \(E_R\) 是寿命中心位置，虚部按
定义宽度 \(\Gamma>0\)。这一对极点结构在 friedrichsModel.zh.md:551 中被写成 \(z_*-E_d-\Sigma^{\rm II}(z_*)=0\)；本篇里 \(L(E)+ik\) 起的就是 \(z-E_d-\Sigma(z)\) 的角色。无穷不可穿透极限 \(b\to\infty\) 时，\(\sinh,\cosh\) 都趋于 \(\frac12 \mathrm e^{\kappa b}\)，分母里两项各取 \(\frac12 e^{\kappa b}\) 后比值为 \(\kappa\)，得到 \(L\to\kappa\)，于是极点条件 \(\kappa+ik=0\) 给纯虚 \(k=i\kappa\)，与硬阱内壁外指数衰减边界对应——亚阈共振退化成真束缚态。
WKB 宽度#
亚阈共振的物理内容可以写成 Gamow 公式：粒子在阱内以经典周期 \(T_\text{cl}=2a/v_\text{in}\) 撞右墙，每次穿透概率 \(T_\text{WKB}\approx \mathrm e^{-2\int_a^{a+b}\sqrt{V_1-E_R}\,\mathrm dx}=\mathrm e^{-2b\kappa_R}\)。约定 \(2m=1\) 给 \(v_\text{in}=2k_\text{in}=2\sqrt{V_0+E_R}\)，所以
这里把次轮 WKB 前因子（\(O(1)\) 的连接公式系数）丢掉，只保留指数与最简单的拍频 \(k_\text{in}/a\)。后面的数值对照会显示：在大 \(b\) 极限下 \(\Gamma_\text{num}/\Gamma_\text{WKB}\) 收敛到一个 \(b\)-无关的常数 \(\approx 1.4\)，正是被丢掉的 \(O(1)\) 修正。指数依赖完全合拍，这就是 Gamow 计算 α 半衰期与原子核电荷数指数关系的本质。
数值与图#
完整脚本见 07_well_barrier_1d.py。算法走三步：
- 在实轴扫 \(L(E)\) 数值符号变化得到共振位置初值；
- 复 \(E\) 平面阻尼 Newton 求 \(L(E)+ik=0\) 的极点；
- 围绕极点拟合 Breit-Wigner 形式 \(\eta(E)=\eta_\text{bg}+\arctan\!\bigl((E-E_R)/(\Gamma/2)\bigr)\)，反提 \(E_R\) 与 \(\Gamma\)。
数值结果（\(V_0=20,\,V_1=8,\,a=1,\,b=2\)）：
宽度比共振能量小三个量级，这正是亚阈共振"长寿命"的标志。
def log_deriv(E, b=B):
q, kap = np.sqrt(V0 + E), np.sqrt(V1 - E)
s, c = np.sin(q * A), np.cos(q * A)
em2 = np.exp(-2 * kap * b)
Cp, Cm = 0.5 * (1 + em2), 0.5 * (1 - em2)
return (kap*s*Cm + q*c*Cp) / (s*Cp + (q*c/kap)*Cm)
势垒中 \(\sinh(\kappa b)\) 与 \(\cosh(\kappa b)\) 在大 \(\kappa b\) 时各自溢出，但其比值有限。把公因子 \(\mathrm e^{\kappa b}\) 显式抵消（用 \(\mathrm e^{-2\kappa b}\) 表示）让函数在第二张面深处也保持稳定——这一点对扫描复 \(E\) 平面至关重要。
第一张图：势的几何与共振能级。
阱（蓝）深 \(V_0=20\)，宽 \(a=1\)；势垒（红）高 \(V_1=8\)，宽 \(b=2\)。虚线标出共振 \(E_R\approx 5.29\)，正好嵌在势垒高度以下，是典型的亚阈准束缚态。
第二张图：相移 \(\eta(E)\) 经过共振时的 \(\pi\) 跳跃及其 BW 拟合。
外圈大尺度上看不到峰，因为宽度太窄（\(\Gamma\sim 10^{-2}\)）；放大插图里 \(\eta\) 在 \(\pm 8\Gamma/2\) 范围内走完一个 \(\pi\)，与 BW 解析曲线几乎完全重合。脚本里直接对 \(\tan(\eta-\eta_\text{bg})\) 做线性最小二乘，反提的 \(E_R\) 与 Newton 极点实部一致到 \(10^{-5}\)，\(\Gamma\) 一致到 \(10^{-3}\) 量级。
第三张图：复 \(E\) 平面 \(|S(E)|\) 等高线，标出 Newton 找到的极点。
极点正好位于 \(E_R-i\Gamma/2\)，即 BW 拟合给出的中心向下半平面的解析延拓。这一极点在物理面（上半平面 \(\mathrm{Im}\,E>0\) 这一支）是缺席的，必须穿过实轴正半轴的连续谱支割延拓到第二张面，才能"看到"——Green_operator.zh.md:468 中"自伴 \(H\) 的复极点只能位于第二张面"那条原理在这里有了像素级实例。
第四张图：第一共振宽度 \(\Gamma\) 随势垒宽度 \(b\) 的变化。
数值数据点与 WKB 直线在半对数图上几乎平行，比值 \(\Gamma_\text{num}/\Gamma_\text{WKB}\approx 1.40\) 在 \(b\in[2,3]\) 范围内稳定不变。这条曲线就是 Gamow 在原子核 α 衰变上发现的图像：寿命 \(\tau=1/\Gamma\propto \exp(2b\sqrt{V_1-E_R})\)，对原子核而言 \(b\) 与 \(V_1\) 由库仑势的高度与宽度决定，不同核素的 \(\sqrt{V_1-E_R}\) 略有差异就让 \(\log\tau\) 跨十几个量级——Geiger-Nuttall 规则的指数因子正是这里的 \(\mathrm e^{-2b\kappa}\)。
sanity checks#
07_well_barrier_1d.py 的 sanity_checks 跑三件事：
- 实 \(E\) 上 \(|S(E)|=1\)（弹性幺正性），随机 6 组 \(E\) 全通过，绝对误差 \(<10^{-9}\)；
- Newton 极点与 BW 拟合的 \(E_R\) 一致到 \(10^{-3}\)，\(\Gamma\) 相对误差 \(<10^{-2}\)；
- 数值 \(\Gamma\) 与 WKB \(\Gamma\) 在 \(b>2\) 时比值在 \([0.5,2]\) 内（实测 \(\approx 1.40\)，被丢的 WKB 前因子是 \(O(1)\) 的）。
跑一次约 1 秒，4 张 png 写到 assets/07_well_barrier_1d/。
与 Friedrichs 模型的对账#
| 本篇中的对象 | Friedrichs 笔记中的对应 |
|---|---|
| 阱内准束缚能级（无穷势垒极限 \(b\to\infty\) 是真束缚） | 离散态 \(E_d\)（解耦极限），见 friedrichsModel.zh.md:24 |
| 极点条件 \(L(E)+ik=0\) | \(z-E_d-\Sigma^{\rm II}(z)=0\)，见 friedrichsModel.zh.md:551 |
| 第二张面下半面极点 \(E_R-i\Gamma/2\) | \(z_*=E_R-i\Gamma/2\)（Gamow 态），见 friedrichsModel.zh.md:580 |
| 宽度 \(\Gamma\propto \mathrm e^{-2b\kappa}\) | $\Gamma(E)=2\pi |
| 解析结构：实轴上 $ | S |
| 实轴幺正 $ | S(E) |
与 delta 壳层那一篇相比，这里的"耦合"由势垒高度与宽度联合控制：固定 \(V_1\)，让 \(b\) 增大，等效地把 \(|g_\text{eff}|^2\) 指数压低，把极点拉向实轴；这是 Friedrichs 模型耦合 \(\to 0\) 极限在三维同样可见的同一现象的一维显式化。delta 壳层里"\(\gamma\) 越大壳越硬"等效 \(|g_\text{eff}|^2\) 越小，本篇里"\(b\) 越大墙越厚"也是同一回事，只是在两套不同的可解模型里给出了同一指数律。
next-step#
- 多重共振：如果 \(V_0\) 增大让阱内能容纳两个准束缚级（\((n\pi/a)^2-V_0\) 中 \(n=1,2\) 都落在 \((0,V_1)\) 内），可以观察两条 BW 峰分别对应不同 \(n\) 的内态，宽度按 \(n\) 的奇偶性不同——奇宇称内态在 \(a\) 处节点正好阻挡泄漏。
- 时间域生存振幅 \(\langle\psi_R|\mathrm e^{-iHt}|\psi_R\rangle\)：直接对 \(E\) 做傅里叶反变换，预期早时近指数衰减 \(\mathrm e^{-\Gamma t}\)，长时被支割贡献的幂律接管，与
friedrichsModel.zh.md:580节的 Gamow + cut 拆分一一对应。 - α 衰变常数：把 \(V_0,V_1,a,b\) 换成原子核常数（\(V_0\sim 30\) MeV, \(V_1\sim 20\)–\(30\) MeV, \(b\sim 10\) fm），代入本篇公式即可估出 \(^{210}\)Po 等重核 α 半衰期，与实验值在十数量级范围内吻合——Gamow-Condon-Gurney 1928 年的原始计算就建立在这个最简单的一维图像上。
Created: 2026-05-08