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装备希尔伯特空间与 Dirac 形式的严格化#

Dirac 的 bra-ket 形式简洁优雅， 可它在希尔伯特空间 \(\mathcal H\) 内并不自洽：连续谱的本征矢 \(|p\rangle, |x\rangle\) 不是 \(L^2\) 的元素， \(\delta(x-x')\) 也不是真正的函数。 把 \(\mathcal H\) 与分布理论合体， 得到的"装备希尔伯特空间" (rigged Hilbert space, RHS； 又名 Gelfand triplet) 才是 Dirac 形式的真正舞台。

本文沿用 de la Madrid 2005 (Eur. J. Phys. 26 287) 的一维矩形势垒例子， 把 RHS 的三个空间一一构造出来， 并解释每一个空间的物理含义。

参考资料： Ballentine, Quantum Mechanics (1990)； Bohm, Gadella, Dirac Kets, Gamow Vectors and Gelfand Triplets (1989)； 以及上述 de la Madrid 综述。

为什么希尔伯特空间不够#

无界算符的定义域问题#

位置算符 \(Q f(x) = x f(x)\) 在 \(L^2(\mathbb R)\) 上不处处有定义：
[
\mathcal D(Q) = { f\in L^2 \mid x f \in L^2} \subsetneq L^2.
]
而 \(g(x)=1/(x+\mathrm i)\in L^2\) 但 \(Qg\notin L^2\)，所以 \(Q\) 是无界算符。 进一步， \(Q^2\) 的定义域比 \(\mathcal D(Q)\) 还小， \(\mathcal D(Q)\) 不在 \(Q\) 的作用下保持不变 (\(Q\mathcal D(Q)\not\subset \mathcal D(Q)\))。

后果： 期望值 \((\varphi, Q\varphi)\)、 不确定度 \(\Delta_\varphi Q\)、 对易关系 \([Q,P]=\mathrm i\hbar I\)， 在 \(L^2\) 上没有处处良定义。

连续谱本征矢不在 \(L^2\) 中#

\(P\) 的本征方程 \(-\mathrm i\hbar\, \mathrm d/\mathrm dx\,\langle x|p\rangle = p\,\langle x|p\rangle\) 给出平面波 \(\langle x|p\rangle = \mathrm e^{\mathrm i p x/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}\)， 它不平方可积。 类似地 \(\langle x|x'\rangle = \delta(x-x')\) 根本不是函数。 Dirac 形式中的"完备性"
[
I = \int\mathrm dp\,|p\rangle\langle p|,\qquad \langle p|p'\rangle = \delta(p-p')
]
在 \(\mathcal H\) 内毫无意义。

思路： 一缩一放#

要补救， 一方面要把 \(\mathcal H\) 缩小到一个对所有 \(Q,P,H\) 的任意次幂都不变的子空间 \(\Phi\)， 那里期望值、 不确定度、 对易关系都良定义； 另一方面要把 \(\mathcal H\) 放大到包含本征 bra 和 ket 的更大空间 \(\Phi^\times, \Phi'\)。 这就是装备：
[
\Phi \subset \mathcal H \subset \Phi^\times,\qquad \Phi \subset \mathcal H \subset \Phi'.
]

Gelfand 三元组#

\(\Phi\) 是 \(\mathcal H\) 的稠密子空间， 其上有比 \(\mathcal H\) 内积范数更强的拓扑 \(\tau_\Phi\)；

  • \(\Phi^\times\) ：\(\Phi\) 上 \(\tau_\Phi\)-连续反线性泛函的空间， 称为 antidual， 装着 ket \(|a\rangle\)；
  • \(\Phi'\) ：\(\Phi\) 上 \(\tau_\Phi\)-连续线性泛函的空间， 称为对偶 dual， 装着 bra \(\langle a|\)。
空间 物理意义 数学意义
\(\Phi\) 物理可制备的波函数 \(\varphi\) 测试函数空间
\(\mathcal H\) 概率振幅的承载空间 希尔伯特空间
\(\Phi^\times\) ket $ a\rangle$ 所在
\(\Phi'\) bra $\langle a $ 所在

记号 \(\langle\varphi|F\rangle\equiv F(\varphi)\) 把分布作用在测试函数上的过程改写成内积外形， 这正是 Dirac 形式的源头。

例子： 一维矩形势垒#

考虑一维无自旋粒子， 哈密顿量
[
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + V(x),\qquad
V(x) = \begin{cases} 0, & xb \ V_0, & a<x<b \end{cases}.
]
谱 \(\mathrm{Sp}(Q)=\mathrm{Sp}(P)=\mathbb R\)， \(\mathrm{Sp}(H)=[0,\infty)\)， 全为连续谱， 无束缚态。 这是检验 RHS 的最干净场景。

构造测试函数空间 \(\Phi\)#

要让 \(Q,P,H\) 的任意多项式作用在 \(\varphi\) 上仍是 \(L^2\)， 并且 \(H\) 在势垒边界 \(a,b\) 仍可反复求导， \(\Phi\) 必须满足：

  • 无穷次可微；
  • 在 \(x=a, b\) 各阶导数为零 (势的间断点)；
  • \(P^n Q^m H^l \varphi \in L^2\) 对一切 \(n,m,l\geq 0\)。

正式记
[
\Phi \equiv \mathcal S(\mathbb R - {a,b})
= {\varphi\in L^2\mid \varphi\in C^\infty(\mathbb R), \varphi{(n)}(a)=\varphi(b)=0, |\varphi|{n,m,l}<\infty}
]
其中范数族
[
|\varphi|,\qquad n,m,l=0,1,\dots} = \sqrt{\int|P^n Q^m H^l \varphi(x)|^2\,\mathrm dx
]
诱导拓扑 \(\tau_\Phi\)。 \(\Phi\) 几乎就是 Schwartz 空间 \(\mathcal S(\mathbb R)\)， 只多两个边界条件。 可以验证 \(A\Phi\subset\Phi\) 对 \(A=Q,P,H\) 都成立： 这就是不变性。

构造 ket 空间 \(\Phi^\times\)#

给定本征函数 \(f(x)\) (例如平面波 \(\mathrm e^{\mathrm ipx/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}\))， 用积分核生成反线性泛函
[
F(\varphi) = \int\overline{\varphi(x)}\,f(x)\,\mathrm dx.
]
Dirac 写法
[
\langle\varphi|F\rangle = \int\mathrm dx\,\langle\varphi|x\rangle\langle x|F\rangle.
]
按此模板， 三组本征 ket 依次定义：

  • 动量 ket：
    [
    \langle\varphi|p\rangle \equiv \int\mathrm dx\,\overline{\varphi(x)}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\,\mathrm e^{\mathrm ipx/\hbar}.
    ]
  • 位置 ket：
    [
    \langle\varphi|x\rangle \equiv \int\mathrm dx'\,\overline{\varphi(x')}\,\delta(x-x') = \overline{\varphi(x)}.
    ]
  • 能量 ket \(|E^\pm\rangle_{\mathrm l,r}\) ：以 \(\langle x|E^\pm\rangle_{\mathrm l,r}\) 为核， 这些核是带边界条件的 Sturm-Liouville 本征函数 (透射/反射波)。 上标 \(\pm\) 区分正向/反向时序， 下标 l/r 区分粒子从左/右入射。

每一个都属于 \(\mathcal S^\times(\mathbb R-\{a,b\})\)。

算符在 \(\Phi^\times\) 上的延拓#

希尔伯特空间内 \(A\) 自伴等价于 \((f, Ag)=(Af, g)\)。 把它推广到 ket：
[
\langle\varphi|A|F\rangle \equiv \langle A\varphi|F\rangle,\qquad \forall\varphi\in\Phi.
]
"\(|F\rangle\) 是 \(A\) 的本征 ket， 本征值 \(a\)" 严格地表述为
[
\langle\varphi|A|a\rangle = \langle A\varphi|a\rangle = a\langle\varphi|a\rangle,\qquad \forall\varphi\in\Phi.
]
省略左侧 \(\varphi\) 即得熟悉的 Dirac 写法 \(A|a\rangle = a|a\rangle\)。 由此可证
[
P|p\rangle = p|p\rangle,\quad Q|x\rangle = x|x\rangle,\quad H|E^\pm\rangle_{\mathrm l,r} = E|E^\pm\rangle_{\mathrm l,r}.
]

构造 bra 空间 \(\Phi'\)#

把核改成"先复共轭再积分"， 得到线性泛函：
[
\tilde F(\varphi) = \int\varphi(x)\,\overline{f(x)}\,\mathrm dx,\qquad
\langle F|\varphi\rangle = \int\mathrm dx\,\langle F|x\rangle\,\langle x|\varphi\rangle.
]
于是
[
\langle p|\varphi\rangle = \int\mathrm dx\,\varphi(x)\,\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\,\mathrm e^{-\mathrm ipx/\hbar}
=\overline{\langle\varphi|p\rangle},
]
[
\langle x|\varphi\rangle = \varphi(x),\qquad \langle x|x'\rangle = \delta(x-x').
]
bra 在算符左侧的延拓
[
\langle F|A|\varphi\rangle \equiv \langle F|A\varphi\rangle
]
给出 \(\langle p|P = p\langle p|\)， \(\langle x|Q = x\langle x|\)， \(_{\mathrm{l,r}}\langle{}^{\pm}E|H = E\;_{\mathrm{l,r}}\langle{}^{\pm}E|\)。

bra 与 ket 一一对应， \(\langle p|\in\Phi'\)， \(|p\rangle\in\Phi^\times\)。

Dirac 基展开#

完备性
[
\int\mathrm dp\,|p\rangle\langle p| = I,\qquad \int\mathrm dx\,|x\rangle\langle x| = I,
]
[
\int_0^\infty\mathrm dE\,|E^\pm\rangle_{\mathrm l\,\mathrm l}\langle{}^\pm E| + \int_0^\infty\mathrm dE\,|E^\pm\rangle_{\mathrm r\,\mathrm r}\langle{}^\pm E| = I
]
都是形式等式， 必须夹在 \(\varphi,\psi\in\Phi\) 之间才有意义：
[
\langle x|\varphi\rangle = \int\mathrm dp\,\langle x|p\rangle\langle p|\varphi\rangle
\quad(\text{即 Fourier 反演}),
]
[
\langle x|\varphi\rangle = \int_0^\infty\mathrm dE\,\langle x|E^\pm\rangle_{\mathrm l\,\mathrm l}\langle{}^\pm E|\varphi\rangle
+ \int_0^\infty\mathrm dE\,\langle x|E^\pm\rangle_{\mathrm r\,\mathrm r}\langle{}^\pm E|\varphi\rangle.
]
这些等式只对 \(\varphi\in\Phi\) 严格成立， 对一般 \(L^2\) 元素只能取极限。

类似地， 算符的"矩阵元"
[
\langle x|Q|x'\rangle = x'\delta(x-x'),\quad
\langle x|P|x'\rangle = -\mathrm i\hbar\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\delta(x-x'),
]
[
\langle x|H|x'\rangle = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}+V(x)\right)\delta(x-x')
]
都是分布意义下的等式， 是有限维基底中 \(A_{ij}=\langle a_i|A|a_j\rangle = a_i\delta_{ij}\) 的连续推广。

\(\delta\) 归一化的真意#

[
\langle p|p'\rangle = \delta(p-p'),\qquad \langle x|x'\rangle = \delta(x-x')
]
本身是形式记号， 真正的内容是
[
\int\mathrm dp\,\varphi(p)\langle p'|p\rangle = \varphi(p')
]
对一切 \(\varphi\in\Phi\) 成立： 即 \(\langle p'|p\rangle\) 是分布 \(\delta(p-p')\)。

[
\frac{1}{2\pi\hbar}\int\mathrm dx\,\mathrm e^{\mathrm i(p-p')x/\hbar} = \delta(p-p')
]
也只是这套 sandwich 解释的一例。

物理读法： bra/ket 是概率振幅的核#

连续谱本征矢不可归一化， 几率诠释要换一种说法。 离散谱的 \(f_n(x)=\langle x|a_n\rangle\) 平方可积， 直接是几率振幅； 连续谱的 \(f_a(x)=\langle x|a\rangle\) 是几率振幅的"积分核"：
[
\langle\varphi|a\rangle = \int\mathrm dx\,\langle\varphi|x\rangle\langle x|a\rangle.
]
\(\varphi\) 才是物理上可制备的波包。 当 \(\varphi(p)\) 在 \(p_0\) 处尖峰时， 其 \(\varphi(x)\sim\mathrm e^{\mathrm ip_0x/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}\) 才是有效近似。

平面波之于光波包， 正如 \(|p\rangle\) 之于 \(\varphi\)： 单频不可制备， 却是分解物理脉冲的好工具。 这就是 Dirac 形式的 Fourier 隐喻。

\(|E^+\rangle\) 与 \(|E^-\rangle\) 的差别， 以及谱测度#

希尔伯特空间的谱定理给出 \(A=\int a\,\mathrm dE_a\)， 对应分解
[
\mathrm dE_p = |p\rangle\langle p|\,\mathrm dp,\quad
\mathrm dE_x = |x\rangle\langle x|\,\mathrm dx,
]
[
\mathrm dE_E = |E^\pm\rangle_{\mathrm l\,\mathrm l}\langle{}^\pm E|\,\mathrm dE
+ |E^\pm\rangle_{\mathrm r\,\mathrm r}\langle{}^\pm E|\,\mathrm dE.
]
\(\mathrm dE_a\) 在 \(\mathcal H\) 内是唯一的， 但其分解并不唯一： \(|E^+\rangle\) 对应入射初条件 (出射波在 \(\pm\infty\))， \(|E^-\rangle\) 对应出射末条件 (入射波在 \(\pm\infty\))。 希尔伯特空间的谱测度看不出二者差别， RHS 看得出。 在散射理论里这就是 in/out 基的来源。

结语#

  • 装备 (equipped) 比"延拓 extension"或"诠释 interpretation"更准。 RHS 不是替代希尔伯特空间， 而是把它和分布理论装在一起。
  • 一缩 (\(\Phi\)) 一放 (\(\Phi^\times,\Phi'\))， 缩出可以良定义算符代数和期望值的子空间， 放出可以容纳 bra/ket 的对偶空间。
  • Dirac 公式始终带一个隐藏的"夹在 \(\varphi\in\Phi\) 中间"。 一旦补回这层 sandwich， 所有形式操作都是合法的。
  • 本文只讲了纯连续谱的最简例子。 含束缚态、 共振态、 多体或非循环可观测量的 RHS 构造更难， 但思路一致： 找一个对相关算符代数封闭的核测试函数空间。
最后更新: 2026-05-09
创建日期: 2026-05-09