散射理论与 Faddeev 方程

约定：质心系，\(\hbar=1\)，相互作用势短程（衰减快于 \(1/r\)）。\(+i\epsilon\) 默认为出射边界条件。

两体散射的基本量#

Hamiltonian 与自由部分：

\[ H = H_0 + V,\qquad H_0 = \frac{\vec{p}^2}{2\mu},\qquad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}. \]

散射态渐近行为（出射边界条件）：

\[ \psi_{\vec{k}}^+(\vec{r}) \xrightarrow{r\to\infty} e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} + f_{\vec{k}}(\hat{r})\,\frac{e^{ikr}}{r}. \]

微分截面：

\[ \frac{d\sigma}{d\Omega} = |f_{\vec{k}}(\hat{r})|^2. \]

光学定理（粒子流守恒的直接推论）：

\[ \sigma_{\text{tot}}(k) = \frac{4\pi}{k}\,\mathrm{Im}\, f_{\vec{k}}(\hat{k}). \]

Green 算符与解析延拓#

自由 / 完整 resolvent：

\[ G_0(z) = (z - H_0)^{-1},\qquad G(z) = (z - H)^{-1}. \]

Resolvent 恒等式：

\[ G = G_0 + G_0\,V\,G = G_0 + G\,V\,G_0. \]

带 \(\pm i\epsilon\) 的边界值：

\[ G_0^\pm(E) = \lim_{\epsilon\to 0^+} (E - H_0 \pm i\epsilon)^{-1}. \]

Sokhotski–Plemelj：

\[ \frac{1}{E - H_0 \pm i\epsilon} = \mathcal{P}\frac{1}{E-H_0} \mp i\pi\,\delta(E-H_0). \]

Lippmann–Schwinger 方程#

波函数形式：

\[ |\psi_E^+\rangle = |\phi_E\rangle + G_0^+(E)\,V\,|\psi_E^+\rangle. \]

T 算符形式（定义 \(T|\phi\rangle \equiv V|\psi^+\rangle\)）：

\[ T(E) = V + V\,G_0^+(E)\,T(E) = V + V\,G(E)\,V. \]

散射振幅与 T 矩阵元：

\[ f_{fi} = -\frac{(2\pi)^2 \mu}{\hbar^2}\,\langle \phi_f | T(E) | \phi_i \rangle. \]

Møller 波算符与 S 矩阵#

Møller 算符（intertwining）：

\[ \Omega_\pm = \lim_{t\to\mp\infty} e^{iHt} e^{-iH_0 t},\qquad H\,\Omega_\pm = \Omega_\pm\,H_0. \]

S 算符：

\[ S = \Omega_-^\dagger\,\Omega_+,\qquad S = I - 2\pi i\,\delta(E_f-E_i)\,T_{fi}. \]

幺正性 \(S^\dagger S = I\) 与光学定理等价。

分波展开与相移#

球面波分解：

\[ e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} = \sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\,i^l\,j_l(kr)\,P_l(\cos\theta). \]

分波 S 矩阵 / 散射振幅：

\[ S_l(k) = e^{2i\delta_l(k)},\qquad f(\theta) = \frac{1}{k}\sum_l (2l+1)\,e^{i\delta_l}\sin\delta_l\,P_l(\cos\theta). \]

有效力程展开与 Levinson 定理#

低能展开（s 波）：

\[ k\cot\delta_0(k) = -\frac{1}{a} + \frac{1}{2}\,r_0\,k^2 + O(k^4). \]

\(a\) 为散射长度，\(r_0\) 为有效力程。

Levinson 定理（\(l\) 分波）：

\[ \delta_l(0) - \delta_l(\infty) = n_l\,\pi, \]

\(n_l\) 为该分波的束缚态数（s 波且存在零能共振时增加 \(\pi/2\) 修正）。

Jost 函数与 S 矩阵解析性#

\(l=0\) 的 Jost 解：

\[ f^\pm(k,r) \xrightarrow{r\to\infty} e^{\pm ikr}. \]

Jost 函数 \(\mathcal{F}(k) = f^+(k,0)\)，则

\[ S_0(k) = \frac{\mathcal{F}(-k)}{\mathcal{F}(k)}. \]

性质：\(\mathcal{F}(k)\) 在上半 \(k\) 平面解析，\(\mathcal{F}(i\kappa_n)=0\) 对应束缚态 \(E_n=-\kappa_n^2/(2\mu)\)；\(S\) 极点在物理片对应共振或束缚态。

时间反演与细致平衡#

时间反演 \(\Theta\) 反线性、\(\Theta\,\vec{p}\,\Theta^{-1}=-\vec{p}\)，\(\Theta\,\vec{S}\,\Theta^{-1}=-\vec{S}\)。若 \([H,\Theta]=0\)：

\[ \langle \vec{k}_f, m_f | T | \vec{k}_i, m_i \rangle = (-1)^{\Delta m}\,\langle -\vec{k}_i, -m_i | T | -\vec{k}_f, -m_f \rangle. \]

对截面给出细致平衡：

\[ k_i^2\,(2s_a+1)(2s_b+1)\,\sigma_{a+b\to c+d} = k_f^2\,(2s_c+1)(2s_d+1)\,\sigma_{c+d\to a+b}. \]

Coulomb 修正#

纯 Coulomb 渐近：

\[ \psi_{\vec{k}}^{(C)+}(\vec{r}) \xrightarrow{r\to\infty} \exp\!\big[i\vec{k}\!\cdot\!\vec{r} + i\eta\ln(kr-\vec{k}\!\cdot\!\vec{r})\big] + f_C(\theta)\,\frac{e^{i(kr-\eta\ln 2kr)}}{r}, \]

Sommerfeld 参数 \(\eta = Z_1 Z_2 \alpha\,\mu/k\)。Coulomb 振幅与相移：

\[ f_C(\theta) = -\frac{\eta}{2k\sin^2(\theta/2)}\,\exp\!\big[-i\eta\ln\sin^2(\theta/2) + 2i\sigma_0\big],\quad \sigma_l = \arg\Gamma(l+1+i\eta). \]

双势公式与 DWBA#

将 \(V = U + W\)，\(\chi^\pm\) 为 \(H_0+U\) 的失真波，则

\[ T_{fi} = \langle \phi_f | U | \chi_i^+ \rangle + \langle \chi_f^- | W | \psi_i^+ \rangle. \]

DWBA：上式右端用 \(\chi_i^+\) 取代 \(\psi_i^+\)（一阶近似）：

\[ T_{fi}^{\text{DWBA}} = \langle \phi_f | U | \chi_i^+ \rangle + \langle \chi_f^- | W | \chi_i^+ \rangle. \]

三体 Jacobi 坐标#

第 \(k\) 套（\(k\) 为旁观者）：

\[ \vec{\rho}_k = \vec{r}_i - \vec{r}_j,\qquad \vec{\lambda}_k = \frac{m_i\vec{r}_i + m_j\vec{r}_j}{m_i+m_j} - \vec{r}_k, \]

约化质量 \(\mu_{ij} = m_i m_j/(m_i+m_j)\)，\(\nu_k = (m_i+m_j)m_k/M\)。质心系自由 Hamiltonian：

\[ H_0 = \frac{\vec{p}_{\rho_k}^2}{2\mu_{ij}} + \frac{\vec{p}_{\lambda_k}^2}{2\nu_k}. \]

三套坐标通过线性正交变换互换；变换矩阵中的角度即标准化的“Raynal–Revai 旋转”。

三体 LS 方程的病态#

总 T 算符的 LS 方程

\[ T = V + V G_0 T,\qquad V = V_1 + V_2 + V_3 \]

迭代后含 \(G_0 V_i G_0 V_i\) 这类“旁观者从未参与”的链；动量表象下 \(V_i\) 矩阵元含 \(\delta(\vec{q}'-\vec{q})\)（旁观者动量守恒）。结果：积分核 \(K=G_0 V\) 非紧致（non-compact），Fredholm 唯一性失效。

Faddeev 分解#

T 矩阵分量（以 \(V_i\) 为“末次作用”）：

\[ T^{(i)} \equiv V_i + V_i\,G_0\,T,\qquad T = T^{(1)} + T^{(2)} + T^{(3)}. \]

波函数分量：

\[ |\Psi^{(i)}\rangle = G_0\,V_i\,|\Psi\rangle,\qquad |\Psi\rangle = |\Phi\rangle + \sum_i |\Psi^{(i)}\rangle. \]

Faddeev / AGS 方程#

利用两体 t 矩阵 \(t_i = V_i + V_i G_0 t_i\)，把 \(T^{(i)}\) 化为耦合方程：

\[ \boxed{\;T^{(i)} = t_i + t_i\,G_0\sum_{j\neq i} T^{(j)}\;} \]

矩阵形式 \(\mathbf{X} = \mathbf{Y} + \mathbf{K}\mathbf{X}\)，

\[ \mathbf{K} = \begin{pmatrix} 0 & t_1 G_0 & t_1 G_0 \\ t_2 G_0 & 0 & t_2 G_0 \\ t_3 G_0 & t_3 G_0 & 0 \end{pmatrix}. \]

对角元为零禁止 \(t_i G_0 T^{(i)}\) 出现，去掉了非连通图。\(\mathbf{K}^2\) 的所有分量形如 \(t_i G_0 t_j\)（\(i\neq j\)）：紧致；Fredholm 唯一性恢复。

置换算符与角动量重耦合#

置换 \(P_{ki}\) 把 \(k\) 套基矢映射到 \(i\) 套，矩阵元分解为

\[ \langle i;\alpha',m' | P_{ki} | k;\alpha,m \rangle = (\text{几何积分}) \times (\text{重耦合系数}). \]

重耦合系数由 Wigner 6-j 与 9-j 符号组合而成；几何因子是变换后 \(g_n(p)\) 在新基上的投影积分。

带置换的 Faddeev 形式（识别粒子全同时合并）：

\[ T = (1+P)\,t\,G_0\,(1+P)\,T + (1+P)\,t. \]

分波与离散化#

径向归一化（含 Jacobian \(p^2 dp\)）：

\[ \int_0^\infty p^2\,dp\;g_m(p)\,g_n(p) = \delta_{mn}. \]

三体分波基矢复合指标：

\[ |p,q;\,((l_p,S_{ij})j_{ij},(l_q,s_k)j_k)\,J,M\rangle. \]

WP-CD 基矢：解广义本征值问题 \(\mathbf{H}\mathbf{c} = E\,\mathbf{B}\mathbf{c}\)，正本征值给出离散化连续谱基。

求解流程速查#

选 \((J,\Pi)\) 通道，列出所有 \(\alpha\)。
在分波径向基上算两体 \(t\) 矩阵 \(t^{(j,s)}_{l'l}(E_{\text{sub}})\)。
预算 \(P_{ki}\) 矩阵（6-j、9-j 与几何积分）。
装配 \(\mathbf{K}\)、驱动项 \(\mathbf{Y}\)。
用 GMRES 等 Krylov 解 \((\mathbf{I}-\mathbf{K})\mathbf{X}=\mathbf{Y}\)。
投影到入/出态得到 \(T^J_{fi}\)，相干叠加到自旋空间散射振幅 \(f_{m_f m_i}(\theta,\phi)\)，给出截面与极化观测量。