ch03 S 矩阵与散射截面

本文沿 Taylor《Scattering Theory: Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions》第 2–3 章的思路，在薛定谔表象下建立非相对论散射的核心框架：渐近条件 → Møller 算符 → 入出态与 S 算符 → T 矩阵 → 微分截面 → 光学定理。

原书参考（Taylor, Ch. 2–3）

关于态与散射截面的讲解，Taylor 这本书是我见过最清楚的。下面把相关页面直接附在开头。阅读本文时可随时对照——后文的符号和推导基本按 Taylor 的思路走。

Chapter 2: The Scattering Operator for a Single Particle（pp. 21–37）

渐近条件、Møller 算符、散射算符的引入。

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Chapter 3: Cross Sections in Terms of the S Matrix（pp. 38–55）

能量守恒、壳上 T 矩阵、经典与量子截面、波包与碰撞参数、光学定理。

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记号约定与核心区分

令 \(H = H_0 + V\)，\(H_0 = p^2/2m\) 是自由粒子哈密顿量，\(V\) 是短程势。整个问题有三类不同的对象，它们在文献里常被同一批符号混用，因此先把身份讲清楚：

对象	记号	方程	可归一？	角色
自由基矢	\(\|\mathbf{p}\rangle\)，\(\|\alpha\rangle\)	\(H_0\|\alpha\rangle = E_\alpha\|\alpha\rangle\)	否（\(\delta\)-归一）	坐标轴
自由波包	\(\|\phi\rangle = \int g(\alpha)\|\alpha\rangle\,d\alpha\)	自由演化 \(e^{-iH_0 t}\|\phi\rangle\)	是	渐近参考
入出态	\(\|\psi_\alpha^{\pm}\rangle = \Omega_\pm\|\alpha\rangle\)	\(H\|\psi_\alpha^{\pm}\rangle = E_\alpha\|\psi_\alpha^{\pm}\rangle\)	否（\(\delta\)-归一）	物理态的坐标
散射态	\(\|\Psi(t)\rangle = e^{-iHt}\|\Psi(0)\rangle\)	完整 \(H\) 下演化	是	实验对象

需要反复提醒自己的两件事：

1. 基矢不是物理态。\(|\alpha\rangle\) 和 \(|\psi_\alpha^\pm\rangle\) 都是 \(\delta\)-归一的广义本征矢，都不直接出现在概率公式里。它们的作用是为可归一的波包提供展开基底。
2. 入出态不是自由态。\(|\psi_\alpha^{\pm}\rangle\) 是 \(H\)（不是 \(H_0\)）的广义本征矢。它之所以带上自由标签 \(\alpha\)，仅仅是因为它在 \(t\to\mp\infty\) 时的渐近行为与自由态 \(|\alpha\rangle\) 匹配；在有限距离、有限时间内它与自由态完全不同。

渐近条件

短程势下，对于任何一个散射态 \(|\Psi\rangle\)（\(H\) 的正能子空间里的矢量），存在两个归一化的自由波包 \(|\phi_\text{in}\rangle\)、\(|\phi_\text{out}\rangle\)，使得

\[ \lim_{t\to-\infty}\bigl\|\,e^{-iHt}|\Psi\rangle - e^{-iH_0 t}|\phi_\text{in}\rangle\,\bigr\| = 0, \qquad \lim_{t\to+\infty}\bigl\|\,e^{-iHt}|\Psi\rangle - e^{-iH_0 t}|\phi_\text{out}\rangle\,\bigr\| = 0. \]

三点注记：

• 左边的 \(e^{-iHt}|\Psi\rangle\) 一直是完整动力学，没有把 \(V\) 关掉；只是在远时极限下，真实演化在范数意义下与某个自由演化不可区分。
• 渐近条件是关于波包（可归一态）的陈述，范数差 \(\|\cdot\|\) 才有意义。对 \(\delta\)-归一的广义态，这个极限没有直接含义。
• 束缚态不满足渐近条件——它们永远不会跑到远处，没有自由波包与之对应。渐近条件只定义散射子空间 \(\mathcal{H}_\text{scatt}\subset\mathcal{H}\)。

Møller 算符

定义

对渐近条件的第一式两边左乘 \(e^{iHt}\) 并取极限，得到

\[ |\Psi\rangle = \lim_{t\to-\infty} e^{iHt}e^{-iH_0 t}|\phi_\text{in}\rangle. \]

由此定义

\[ \Omega_+ = \operatorname*{s\text{-}lim}_{t\to-\infty} e^{iHt}e^{-iH_0 t}, \qquad \Omega_- = \operatorname*{s\text{-}lim}_{t\to+\infty} e^{iHt}e^{-iH_0 t}, \]

其中 s-lim 指强算符极限：对每个归一化 \(|\phi\rangle\)，\(\Omega_\pm|\phi\rangle\) 作为 Hilbert 空间矢量收敛。渐近条件可以紧凑地写成

\[ |\Psi\rangle = \Omega_+|\phi_\text{in}\rangle = \Omega_-|\phi_\text{out}\rangle. \]

一句话：\(\Omega_+\) 把"粒子在远过去看起来像 \(|\phi_\text{in}\rangle\)"翻译成"它实际上就是散射态 \(|\Psi\rangle\)"。\(\Omega_-\) 类似，只是参考时刻在远未来。

等距性与值域

直接从定义可以验证

\[ \Omega_\pm^\dagger \Omega_\pm = \mathbf{1}, \]

即 \(\Omega_\pm\) 保持内积。但一般地 \(\Omega_\pm\Omega_\pm^\dagger \neq \mathbf{1}\)：\(\Omega_\pm\) 的值域恰是散射子空间 \(\mathcal{H}_\text{scatt}\)，束缚态不在里面。

渐近完备性：若 \(\text{Range}(\Omega_+) = \text{Range}(\Omega_-) = \mathcal{H}_\text{scatt}\)，则系统渐近完备——远过去看起来自由的态，远未来也看起来自由。短程势下这成立。

交缠关系

从 \(H = H_0 + V\) 与极限定义出发，考察 \(e^{iH\tau}\Omega_\pm\)：

\[ \begin{aligned} e^{iH\tau}\Omega_\pm &= \lim_{t\to\mp\infty} e^{iH(t+\tau)} e^{-iH_0(t+\tau)}\,e^{iH_0\tau} \\ &= \Omega_\pm\, e^{iH_0\tau}. \end{aligned} \]

对 \(\tau\) 求导并令 \(\tau\to 0\)：

\[ \boxed{\,H\Omega_\pm = \Omega_\pm H_0\,} \]

这是整个理论最重要的代数关系。直接推论：若 \(H_0|\alpha\rangle = E_\alpha|\alpha\rangle\)，则

\[ H\,\Omega_\pm|\alpha\rangle = E_\alpha\,\Omega_\pm|\alpha\rangle. \]

因此

\[ |\psi_\alpha^{\pm}\rangle \equiv \Omega_\pm|\alpha\rangle \]

是 \(H\) 的广义本征矢，与 \(|\alpha\rangle\) 能量相同但态不同。再重申一遍：\(|\alpha\rangle\) 是标签（\(H_0\) 本征），\(|\psi_\alpha^{\pm}\rangle\) 是物理态（\(H\) 本征）。

由等距性 \(\Omega_\pm^\dagger\Omega_\pm = \mathbf{1}\) 和交缠关系还可得到

\[ \Omega_\pm^\dagger H\,\Omega_\pm = H_0, \]

即 Møller 算符把完整哈密顿量限制在散射子空间上与自由哈密顿量酉等价。

S 算符

定义

同一个散射态 \(|\Psi\rangle\) 对应两个自由波包：

\[ \Omega_+|\phi_\text{in}\rangle = \Omega_-|\phi_\text{out}\rangle. \]

用 \(\Omega_-^\dagger\) 作用左边，利用 \(\Omega_-^\dagger\Omega_- = \mathbf{1}\)：

\[ |\phi_\text{out}\rangle = \Omega_-^\dagger\Omega_+\,|\phi_\text{in}\rangle \;\equiv\; S\,|\phi_\text{in}\rangle. \]

所以

\[ S = \Omega_-^\dagger\Omega_+. \]

\(S\) 定义在自由空间上：输入和输出都是自由波包。真实动力学由 \(H\) 生成；\(S\) 只是这个动力学投影到自由参考空间中的表示。

酉性与能量守恒

渐近完备性下 \(S^\dagger S = SS^\dagger = \mathbf{1}\)。

由交缠关系 \(H\Omega_\pm = \Omega_\pm H_0\)：

\[ [S, H_0] = \Omega_-^\dagger\Omega_+ H_0 - H_0\Omega_-^\dagger\Omega_+ = \Omega_-^\dagger H\Omega_+ - \Omega_-^\dagger H\Omega_+ = 0. \]

因此 \(S\) 与 \(H_0\) 对易：S 算符在自由能量壳层上对角化——能量守恒在连续谱中的体现。

S 矩阵元

在自由基底 \(\{|\alpha\rangle\}\) 上展开：

\[ S_{\beta\alpha} \equiv \langle\beta|S|\alpha\rangle = \langle\beta|\Omega_-^\dagger\Omega_+|\alpha\rangle = \langle\psi_\beta^{-}|\psi_\alpha^{+}\rangle. \]

两种写法各有含义：

• 左边 \(\langle\beta|S|\alpha\rangle\)：S 算符在自由基底中的矩阵元，纯粹的坐标表示。
• 右边 \(\langle\psi_\beta^{-}|\psi_\alpha^{+}\rangle\)：入态与出态的物理内积。

二者相等正是 \(\Omega_\pm\) 等距性的直接推论。真正的物理重叠发生在 \(H\) 的广义本征态之间；自由基底 \(|\alpha\rangle\)、\(|\beta\rangle\) 只提供展开时用的坐标轴。

概率的来源

为什么是入出态的内积给出概率，而不是自由基底的展开系数？

实验准备入态 \(|\Psi_\text{in}\rangle = \Omega_+|\phi_\text{in}\rangle\)。探测器放在远未来的渐近区，工作在某个出射通道 \(|\chi_\beta\rangle\)（归一化自由波包）上。"探测到出射通道 \(\chi_\beta\)" 这件事，对应的物理投影算符不是自由基底上的投影，而是

\[ Q_\beta^\text{out} = \Omega_-|\chi_\beta\rangle\langle\chi_\beta|\Omega_-^\dagger, \]

因为探测器实际测到的本征态是 \(|\psi_{\chi_\beta}^{-}\rangle = \Omega_-|\chi_\beta\rangle\)，而非 \(|\chi_\beta\rangle\) 本身。由 Born 规则：

\[ P_{\chi_\beta\leftarrow\phi_\text{in}} = \bigl|\langle\psi_{\chi_\beta}^{-}|\Psi_\text{in}\rangle\bigr|^2 = \bigl|\langle\chi_\beta|\Omega_-^\dagger\Omega_+|\phi_\text{in}\rangle\bigr|^2 = \bigl|\langle\chi_\beta|S|\phi_\text{in}\rangle\bigr|^2. \]

由 Møller 等距性，这个概率等价地可以写成自由空间中的 S 矩阵元：这正是 S 矩阵与概率之间联系的根源。\(|S|\phi_\text{in}\rangle\) 之所以出现，是因为物理的 out-projector 被 \(\Omega_-\) 共轭到了自由空间。

相应的有限时间下，把真实态在自由基底上展开得到的系数 \(c_t(\alpha) = \langle\alpha|\Psi(t)\rangle\)，一般不是通道探测概率——粒子可能还没有离开相互作用区，通道尚未分离。

动量表象、T 矩阵与散射振幅

接下来把 \(|\alpha\rangle\) 具体取为动量本征态 \(|\mathbf{p}\rangle\)：

\[ H_0|\mathbf{p}\rangle = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}|\mathbf{p}\rangle, \qquad \langle\mathbf{p}'|\mathbf{p}\rangle = \delta_3(\mathbf{p}'-\mathbf{p}). \]

由 \([S,H_0] = 0\)，S 矩阵元在动量空间必然挂一个能量 \(\delta\) 函数。把 \(S = \mathbf{1} + R\) 拆开（\(R\) 是非平凡跃迁部分），定义 T 矩阵元

\[ \langle\mathbf{p}'|R|\mathbf{p}\rangle = -2\pi i\,\delta(E_{p'} - E_p)\,t(\mathbf{p}'\leftarrow\mathbf{p}), \]

即

\[ \langle\mathbf{p}'|S|\mathbf{p}\rangle = \delta_3(\mathbf{p}'-\mathbf{p}) - 2\pi i\,\delta(E_{p'}-E_p)\,t(\mathbf{p}'\leftarrow\mathbf{p}). \]

能量 \(\delta\) 函数确保 \(t\) 只在能量壳上 \(|\mathbf{p}'| = |\mathbf{p}|\) 取值——壳上 T 矩阵。散射振幅定义为

\[ f(\mathbf{p}'\leftarrow\mathbf{p}) \equiv -(2\pi)^2\,m\,t(\mathbf{p}'\leftarrow\mathbf{p}), \]

于是

\[ \boxed{\; \langle\mathbf{p}'|S|\mathbf{p}\rangle = \delta_3(\mathbf{p}'-\mathbf{p}) - \frac{i}{2\pi m}\,\delta(E_{p'}-E_p)\,f(\mathbf{p}'\leftarrow\mathbf{p}). \;} \]

这个形式把所有壳上的物理信息浓缩到一个只含两个方向变量（和一个能量）的复函数 \(f\) 上。

散射截面——Taylor 的推导

经典图像

先回忆经典定义。一束均匀入射粒子，已知入射动量 \(\mathbf{p}_0\)，但无法测量碰撞参数 \(\boldsymbol{\rho}\)（\(\mathbf\rho \perp \mathbf{p}_0\)）。每单位面积入射 \(n_\text{inc}\) 个粒子，若散射到立体角 \(d\Omega\) 内的总粒子数为 \(N_\text{sc}(d\Omega)\)，则

\[ \frac{d\sigma}{d\Omega}\,d\Omega = \frac{N_\text{sc}(d\Omega)}{n_\text{inc}}. \]

直观上，\(\sigma\) 是靶子在垂直于 \(\mathbf{p}_0\) 方向的"有效横截面"。

关键是：散射截面需要对随机均匀的碰撞参数平均。如果所有粒子都恰好撞同一处，定义出的就不是 \(\sigma\)。

量子版本：波包加碰撞参数平均

量子力学里，实验制备的入射态是某个波包 \(|\phi\rangle\)（动量分布集中在 \(\mathbf{p}_0\) 附近）。碰撞参数 \(\boldsymbol{\rho}\) 对应在 \(\mathbf\rho\perp\mathbf{p}_0\) 方向的空间平移：

\[ |\phi_{\boldsymbol{\rho}}\rangle = e^{-i\mathbf{p}\cdot\boldsymbol{\rho}}|\phi\rangle, \qquad \phi_{\boldsymbol{\rho}}(\mathbf{p}) = e^{-i\mathbf{p}\cdot\boldsymbol{\rho}}\phi(\mathbf{p}). \]

对给定碰撞参数 \(\boldsymbol{\rho}\)，远未来探测到粒子在立体角 \(d\Omega\)（不含入射方向）内的概率是

\[ w(d\Omega\leftarrow\phi_{\boldsymbol{\rho}}) = d\Omega\int_0^\infty p^2\,dp\;\bigl|\psi_\text{out}^{\boldsymbol{\rho}}(\mathbf{p})\bigr|^2, \]

其中 \(\psi_\text{out}^{\boldsymbol{\rho}} = S\phi_{\boldsymbol{\rho}}\)。把所有随机碰撞参数累加（对 \(\boldsymbol{\rho}\) 在垂直平面上的均匀分布积分），截面就定义为

\[ \boxed{\; \sigma(d\Omega\leftarrow\phi) = \int d^2\rho\;w(d\Omega\leftarrow\phi_{\boldsymbol{\rho}}). \;} \]

这是 Taylor 对量子散射截面的定义：入射波包形状、加上对碰撞参数的平均。经典截面定义里"每单位面积 \(n_\text{inc}\) 粒子"的作用正是这个 \(\int d^2\rho\)。

用 S 矩阵计算

\(\psi_\text{out}(\mathbf{p}) = \int d^3p'\,\langle\mathbf{p}|S|\mathbf{p}'\rangle\,\phi_{\boldsymbol{\rho}}(\mathbf{p}')\)。代入 §4 的结构：

\[ \psi_\text{out}(\mathbf{p}) = \phi_{\boldsymbol{\rho}}(\mathbf{p}) - \frac{i}{2\pi m}\int d^3p'\,\delta(E_p-E_{p'})\,f(\mathbf{p}\leftarrow\mathbf{p}')\,\phi_{\boldsymbol{\rho}}(\mathbf{p}'). \]

对 \(\mathbf{p}\) 不在入射方向 \(\mathbf{p}_0\) 的小邻域里，第一项 \(\phi_{\boldsymbol{\rho}}(\mathbf{p}) = 0\)，只剩跃迁部分。代入 \(\phi_{\boldsymbol{\rho}}(\mathbf{p}') = e^{-i\mathbf{p}'\cdot\boldsymbol{\rho}}\phi(\mathbf{p}')\) 并取模平方：

\[ |\psi_\text{out}(\mathbf{p})|^2 = \frac{1}{(2\pi m)^2} \int d^3p'\,d^3p''\; \delta(E_p-E_{p'})\,\delta(E_p-E_{p''})\, f^*(\mathbf{p}\!\leftarrow\!\mathbf{p}')\,f(\mathbf{p}\!\leftarrow\!\mathbf{p}'')\, \phi^*(\mathbf{p}')\phi(\mathbf{p}'')\, e^{i(\mathbf{p}'-\mathbf{p}'')\cdot\boldsymbol{\rho}}. \]

代入截面定义并对 \(\boldsymbol{\rho}\) 积分。关键是

\[ \int d^2\rho\; e^{i(\mathbf{p}'-\mathbf{p}'')\cdot\boldsymbol{\rho}} = (2\pi)^2\,\delta_2\!\bigl(\mathbf{p}'_\perp - \mathbf{p}''_\perp\bigr), \]

这把 \(\mathbf{p}'\)、\(\mathbf{p}''\) 的垂直分量锁在一起。再配合两个能量 \(\delta\)：固定 \(\mathbf{p}'_\perp = \mathbf{p}''_\perp\) 以及 \(E_{p'} = E_{p''}\)，只剩纵向分量的一维自由度，而

\[ \delta(E_{p'}-E_{p''}) = \frac{m}{p'_\|}\,\delta\!\bigl(p'_\|-p''_\|\bigr). \]

合在一起得到 \(\delta_3(\mathbf{p}'-\mathbf{p}'')\)。因此

\[ \sigma(d\Omega\leftarrow\phi) = \frac{d\Omega}{m}\int_0^\infty p^2\,dp \int d^3p'\;\frac{p'}{p'_\|}\, \delta(E_p-E_{p'})\,\bigl|f(\mathbf{p}\leftarrow\mathbf{p}')\bigr|^2\, |\phi(\mathbf{p}')|^2. \]

现在利用波包集中这个假设：若 \(\phi(\mathbf{p}')\) 集中在 \(\mathbf{p}'\approx\mathbf{p}_0\) 附近（\(\mathbf{p}_0\) 沿轴向，故 \(p'_\|\approx p'\)），且 \(f\) 在这一邻域内近似常数，可以把 \(f\) 和 \(p'/p'_\|=1\) 提到积分外，并用 \(\delta(E_p-E_{p'})\) 把 \(p\) 积掉：

\[ \sigma(d\Omega\leftarrow\phi) \approx d\Omega\,|f(\mathbf{p}\leftarrow\mathbf{p}_0)|^2 \int d^3p'\,|\phi(\mathbf{p}')|^2 = d\Omega\,|f(\mathbf{p}\leftarrow\mathbf{p}_0)|^2. \]

也就是

\[ \boxed{\; \frac{d\sigma}{d\Omega}(\mathbf{p}\leftarrow\mathbf{p}_0) = \bigl|f(\mathbf{p}\leftarrow\mathbf{p}_0)\bigr|^2. \;} \]

这就是课本里熟悉的公式。注意这里的推导没有出现 \([\delta(E)]^2\) 之类的病态量：能量的一个 \(\delta\) 被碰撞参数积分 \(\int d^2\rho\) 通过傅里叶分解吃掉了，另一个被波包 \(|\phi|^2\) 的积分吃掉。

推导过程对波包的要求与散射方向的限制

• \(\phi(\mathbf{p})\) 必须足够集中：集中在 \(\mathbf{p}_0\) 的一个小邻域内，且 \(f(\mathbf{p}\leftarrow\mathbf{p}')\) 在这一邻域里变化缓慢（即势 \(V\) 不能太尖），才能把它提到积分外。这两个条件互相制约：波包越窄，位置展开越宽，但只要大于势的作用范围即可。
• 散射方向 \(\mathbf{p}\neq\mathbf{p}_0\)：推导从一开始就扔掉了 \(\phi_{\boldsymbol{\rho}}(\mathbf{p})\) 项——它只在前向方向有贡献。前向散射的微分截面本来就没有清晰定义：前向出射与"没散射直接穿过"的粒子无法区分。
• 只依赖 \(|f|^2\)，与相位无关：这也解释了为什么 \(f\) 的整体相位（在远场波函数的定义中是约定）不影响观测量。

光学定理

把 \(S = \mathbf{1} + R\) 代入酉性 \(S^\dagger S = \mathbf{1}\)：

\[ R + R^\dagger + R^\dagger R = 0. \]

取动量矩阵元 \(\langle\mathbf{p}|\cdot|\mathbf{p}\rangle\)（同一个态，前向方向）：

\[ \langle\mathbf{p}|R|\mathbf{p}\rangle + \langle\mathbf{p}|R|\mathbf{p}\rangle^* = -\int d^3p''\,|\langle\mathbf{p}''|R|\mathbf{p}\rangle|^2. \]

用 \(\langle\mathbf{p}'|R|\mathbf{p}\rangle = -(i/2\pi m)\delta(E_{p'}-E_p)f(\mathbf{p}'\leftarrow\mathbf{p})\) 代入。左边两项相加给出 \(2\operatorname{Im}f(\mathbf{p}\leftarrow\mathbf{p})/(\pi m)\) 乘以一个能量 \(\delta\)；右边的 \(\delta^2\) 中有一个被能量积分吃掉，剩下的归一化因子配合立体角积分给出总截面。最后得到

\[ \boxed{\; \operatorname{Im}f(\mathbf{p}\leftarrow\mathbf{p}) = \frac{p}{4\pi}\,\sigma_\text{tot}(\mathbf{p}), \;} \qquad \sigma_\text{tot}(\mathbf{p}) = \int d\Omega_{\mathbf{p}'}\,|f(\mathbf{p}'\leftarrow\mathbf{p})|^2. \]

两点含义：

1. 前向散射振幅的虚部由总散射截面决定。微分截面只测到 \(|f|^2\)，但光学定理把 \(\operatorname{Im}f\) 和 \(\sigma\) 联系起来，于是（配合色散关系）可以恢复 \(\operatorname{Re}f\)。
2. 推导只用到 \(S\) 的酉性，这一结论在非弹性散射、相对论散射中都成立。

Lippmann–Schwinger 方程

至此的一切都是时域的（通过 \(t\to\pm\infty\) 极限定义算符）。若要一个不显含时间的定态散射方程，从交缠关系 \(H\Omega_+ = \Omega_+H_0\) 出发直接得到：\(|\psi_\alpha^+\rangle = \Omega_+|\alpha\rangle\) 满足

\[ (E_\alpha - H_0)|\psi_\alpha^+\rangle = V|\psi_\alpha^+\rangle. \]

\(E_\alpha\) 在 \(H_0\) 的连续谱上，直接反演 \((E_\alpha - H_0)^{-1}\) 病态，加 \(i\epsilon\) 选定远过去渐近条件（输入为自由平面波、输出为外行球面波）：

\[ |\psi_\alpha^+\rangle = |\alpha\rangle + G_0^+(E_\alpha)\,V\,|\psi_\alpha^+\rangle, \qquad G_0^+(E) = \frac{1}{E - H_0 + i\epsilon}. \]

出态满足同样形式的方程，只是 \(i\epsilon\to -i\epsilon\)。

取 \(|\alpha\rangle = |\mathbf{k}\rangle\) 并在坐标空间中写开，\(G_0^+\) 的核是

\[ G_0^+(\mathbf{r},\mathbf{r}';E_k) = -\frac{m}{2\pi}\,\frac{e^{ik|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \quad(\hbar=1). \]

远场 \(r\to\infty\)，用 \(|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\approx r - \hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}'\)：

\[ \psi_\mathbf{k}^{+}(\mathbf{r}) \;\xrightarrow{r\to\infty}\; e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} + f(\hat{\mathbf{r}}\leftarrow\mathbf{k})\,\frac{e^{ikr}}{r}, \]

其中

\[ f(\hat{\mathbf{r}}\leftarrow\mathbf{k}) = -\frac{m}{2\pi}\int d^3r'\;e^{-i\mathbf{k}_f\cdot\mathbf{r}'}\,V(\mathbf{r}')\,\psi_\mathbf{k}^+(\mathbf{r}'), \qquad \mathbf{k}_f = k\hat{\mathbf{r}}. \]

这正是 §4 里定义的散射振幅（\(\mathbf{p}'\leftarrow\mathbf{p}\) 的记号换成 \(\hat{\mathbf{r}}\leftarrow\mathbf{k}\)）。注意远场中那个 \(e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\) 不是波函数"的自由部分"——\(\psi_\mathbf{k}^{+}\) 通篇是 \(H\) 的精确广义本征函数。平面波项只是渐近匹配条件给出的一种结构性写法。

Born 近似的含义至此也清楚了：把 \(\psi_\mathbf{k}^+\) 用自由态 \(|\mathbf{k}\rangle\) 近似替代，

\[ f^\text{Born}(\mathbf{k}_f\leftarrow\mathbf{k}) = -\frac{m}{2\pi}\int d^3r\,e^{-i(\mathbf{k}_f-\mathbf{k})\cdot\mathbf{r}}\,V(\mathbf{r}). \]

它可以和 \(V\) 足够弱（或耦合足够小）有关。这正是自由态与入态不同的量化：如果二者相等，就不存在散射。

逻辑链概览

\[ \boxed{\; \text{渐近条件} \;\longrightarrow\; \Omega_\pm \;\longrightarrow\; S,\;|\psi_\alpha^{\pm}\rangle \;\longrightarrow\; t,\;f \;\longrightarrow\; d\sigma/d\Omega \;\longrightarrow\; \text{光学定理} \;} \]

	自由基矢 \(\|\alpha\rangle\)	入出态 \(\|\psi_\alpha^{\pm}\rangle\)
方程	\(H_0\|\alpha\rangle = E_\alpha\|\alpha\rangle\)	\(H\|\psi_\alpha^{\pm}\rangle = E_\alpha\|\psi_\alpha^{\pm}\rangle\)
身份	坐标轴 / 标签	物理散射态（\(\delta\)-归一广义本征）
含相互作用	否	是
在 \(S\) 矩阵里的角色	提供展开基底	提供物理内积

最后一点：整篇都假设 \(V\) 是短程势（快于 \(1/r\) 衰减）。对 Coulomb 等长程势，自由传播本身就不对，需要把参考动力学改成包含对数相位修正的 Coulomb 波；但上面所有的代数结构都可以平行地搬过去。

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Last update: 2026-04-20
Created: 2026-04-15